Seja
, encontre as assíntotas horizontais e represente graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem a função
e precisa encontrar as assíntotas horizontais dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções, especialmente quando
vai para mais ou menos infinito. Também vamos dar uma olhada em como essa função se comporta graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha reta
que a função se aproxima quando
vai para
ou
. Para encontrar essas linhas, calculamos o limite de
quando
tende a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
tende a
:
Para simplificar, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, uma assíntota horizontal é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
:
Dividindo numerador e denominador por
(lembrando que
é negativo):
No entanto, como
é negativo, o
também é negativo, então na verdade, a assíntota é
.
Passo 5
Resumindo, encontramos que as assíntotas horizontais da função são
e
. Para representar isso graficamente, desenhamos as linhas horizontais nesses valores e vemos que a função se aproxima dessas linhas à medida que
vai para
ou
.
Resposta
As assíntotas horizontais da função
são
e
.
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Calcule os limites infinitos abaixo.
Calcule os limites das funções abaixo:
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Usando a definição de limite prove: