Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas vertical e horizontal da função
e esboçar o gráfico dela. A matéria que estamos lidando aqui é a análise de funções racionais, e vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e horizontais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de
que fazem o denominador da função igual a zero, já que nesses pontos a função não está definida e tende ao infinito.
Então, vamos resolver:
Portanto, a assíntota vertical está em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. As assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador forem iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Na nossa função
, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 1. O coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1. Então:
Assim, a assíntota horizontal está em
.
Passo 4
Agora que temos as assíntotas, vamos esboçar o gráfico da função.
- Assíntota Vertical:
– uma linha vertical que a função nunca toca. - Assíntota Horizontal:
– uma linha horizontal que a função se aproxima quando vai para .
Para esboçar o gráfico:
- Quando
está próximo de 3, a função tende a ou dependendo do lado de onde você aproxima. - À medida que
aumenta ou diminui muito, a função se aproxima de .
Vamos plotar alguns pontos para ajudar:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Com esses pontos e as assíntotas, o gráfico fica assim:
|
10 | /
| /
5 | /
|-----+----- y = 2
0 |----/|\
| / | \
-5 | / | \
|/ | \
----------------
x = 3
Resposta
A função
tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O gráfico da função se aproxima dessas assíntotas conforme
tende a
e ao infinito, respectivamente.
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