Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x) = 2x / (x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o gráfico dela. A matéria que estamos lidando aqui é a análise de funções racionais, e vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e horizontais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de que fazem o denominador da função igual a zero, já que nesses pontos a função não está definida e tende ao infinito.
Então, vamos resolver:
Portanto, a assíntota vertical está em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. As assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador forem iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Na nossa função , tanto o numerador quanto o denominador são de grau 1. O coeficiente líder do numerador é 2 e do denominador é 1. Então:
Assim, a assíntota horizontal está em .

Passo 4

Agora que temos as assíntotas, vamos esboçar o gráfico da função.
  1. Assíntota Vertical: – uma linha vertical que a função nunca toca.
  2. Assíntota Horizontal: – uma linha horizontal que a função se aproxima quando vai para .
Para esboçar o gráfico:
  • Quando está próximo de 3, a função tende a ou dependendo do lado de onde você aproxima.
  • À medida que aumenta ou diminui muito, a função se aproxima de .
Vamos plotar alguns pontos para ajudar:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Com esses pontos e as assíntotas, o gráfico fica assim:
   |
10 |        /
   |       /
 5 |      / 
   |-----+----- y = 2
 0 |----/|\
   |   / | \
-5 |  /  |  \
   |/    |   \
   ----------------
        x = 3

Resposta

A função tem uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O gráfico da função se aproxima dessas assíntotas conforme tende a e ao infinito, respectivamente.

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