Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o objetivo é encontrar os valores de para os quais a derivada dessa função, , é igual a zero. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde a gente estuda como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e depois resolver a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Observa que é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Então, precisamos primeiro encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos começar com . A derivada de uma constante é zero, e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é e a derivada de 9 é zero. Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Agora, simplificamos os termos semelhantes:
Então, a derivada fica:

Passo 8

Queremos encontrar os valores de onde :
Vamos resolver essa equação para .

Passo 9

Primeiro, isolamos o termo com :

Passo 10

Aqui chegamos a , mas sabemos que a raiz quadrada de um número real não pode ser negativa. Portanto, não existe nenhum valor real de que satisfaça .

Resposta

Não existem valores reais de para os quais .

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Determine para quais pontos a reta tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo das abcissas.