Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de x em Df para os quais f'(x) = 0 e quais f'(x) não existe.
(a) f(x) = sen(2 x) cos(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir para quais valores de a derivada é igual a zero e onde ela não existe. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Como é o produto de duas funções trigonométricas, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que se , então .

Passo 3

Identificando as partes:
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  • (derivada de é )
  • (derivada de é )

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 5

Perceba que podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar ainda mais. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto,

Passo 6

Agora, queremos encontrar onde :
A função quando , onde é inteiro.

Passo 7

Aplicando isso para :
Então, os valores de que satisfazem são , onde é qualquer número inteiro.

Passo 8

Por fim, vamos verificar onde não existe. A derivada é uma função trigonométrica bem comportada, definida para todos os valores de . Portanto, não existem valores de em onde não exista.

Resposta

Os valores de onde são para todo número inteiro . Além disso, a derivada existe para todos os no domínio de .

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