Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
e quais
não existe.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir para quais valores de
a derivada
é igual a zero e onde ela não existe. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Como
é o produto de duas funções trigonométricas, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz que se
, então
.
Passo 3
Identificando as partes:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
(derivada de é ) - (derivada de
é )
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar ainda mais. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto,
Passo 6
Agora, queremos encontrar onde
:
A função
quando
, onde
é inteiro.
Passo 7
Aplicando isso para
:
Então, os valores de
que satisfazem
são
, onde
é qualquer número inteiro.
Passo 8
Por fim, vamos verificar onde
não existe. A derivada
é uma função trigonométrica bem comportada, definida para todos os valores de
. Portanto, não existem valores de
em
onde
não exista.
Resposta
Os valores de
onde
são
para todo número inteiro
. Além disso, a derivada
existe para todos os
no domínio de
.