Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
e quais
não existe.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de
no domínio de
onde a derivada
é igual a zero e também onde ela não existe. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente, como calcular derivadas e entender onde elas podem não existir.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de
em relação a
é 1. Já a derivada de
é
. Então, aplicando a regra de derivação para somas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Sabemos que
quando
é um múltiplo ímpar de
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos verificar se existem pontos onde a derivada
não existe. Observando a função
, percebemos que todas as partes dela são funções trigonométricas que sempre existem para todo
. Portanto,
está definida para todos os valores de
no domínio de
.
Resposta
Os valores de
onde
são todos os números da forma
, onde
é um número inteiro. Além disso, a derivada
existe para todos os valores de
no domínio de
.