Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de x em Df para os quais f'(x) = 0 e quais f'(x) não existe.
(d) f(x) = x + sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de no domínio de onde a derivada é igual a zero e também onde ela não existe. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, mais especificamente, como calcular derivadas e entender onde elas podem não existir.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A derivada de em relação a é 1. Já a derivada de é . Então, aplicando a regra de derivação para somas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de onde . Ou seja, queremos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Sabemos que quando é um múltiplo ímpar de . Ou seja:
éú

Passo 4

Agora, vamos verificar se existem pontos onde a derivada não existe. Observando a função , percebemos que todas as partes dela são funções trigonométricas que sempre existem para todo . Portanto, está definida para todos os valores de no domínio de .

Resposta

Os valores de onde são todos os números da forma , onde é um número inteiro. Além disso, a derivada existe para todos os valores de no domínio de .

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