Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
a) f(x) = { x^2 + 2x, se x <= 0 ; 4 - 2x, 0 < x <= 4 ; raiz(x), se x > 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos da função onde o limite existe. A função dada é uma função composta por pedaços diferentes, ou seja, tem três expressões distintas dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos analisar cada pedaço e verificar onde os limites se comportam bem, especialmente nos pontos de transição entre os pedaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão. Olhando a definição da função:
  • Para , a função é .
  • Para , a função é .
  • Para , a função é .
Os pontos críticos onde a função muda são e . Vamos verificar os limites nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar com .
  • Lado esquerdo de 0 ( ):
    Aqui usamos a primeira expressão: .
    Calculando o limite:
  • Lado direito de 0 ( ):
    Aqui usamos a segunda expressão: .
    Calculando o limite:
Agora, comparamos os dois limites:
Como os limites são diferentes, não existe.

Passo 4

Agora, vamos analisar .
  • Lado esquerdo de 4 ( ):
    Aqui usamos a segunda expressão: .
    Calculando o limite:
  • Lado direito de 4 ( ):
    Aqui usamos a terceira expressão: .
    Calculando o limite:
Comparando os limites:
Como os limites são diferentes, não existe.

Passo 5

Além dos pontos de transição, precisamos verificar se os limites existem em todo o resto do domínio da função. Para as funções polinomial , linear e a raiz quadrada , os limites existem em todos os outros pontos, já que são funções contínuas em seus respectivos intervalos.

Resposta

Os limites da função existem em todos os pontos exceto em e .

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