Dadas as funções abaixo, determine todos os pontos da função onde os limite existe
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos da função onde o limite existe. A função dada é uma função composta por pedaços diferentes, ou seja, tem três expressões distintas dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos analisar cada pedaço e verificar onde os limites se comportam bem, especialmente nos pontos de transição entre os pedaços.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão. Olhando a definição da função:
Para , a função é .
Para , a função é .
Para , a função é .
Os pontos críticos onde a função muda são e . Vamos verificar os limites nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar com .
Lado esquerdo de 0 ():
Aqui usamos a primeira expressão: .
Calculando o limite:
Lado direito de 0 ():
Aqui usamos a segunda expressão: .
Calculando o limite:
Agora, comparamos os dois limites:
Como os limites são diferentes, não existe.
Passo 4
Agora, vamos analisar .
Lado esquerdo de 4 ():
Aqui usamos a segunda expressão: .
Calculando o limite:
Lado direito de 4 ():
Aqui usamos a terceira expressão: .
Calculando o limite:
Comparando os limites:
Como os limites são diferentes, não existe.
Passo 5
Além dos pontos de transição, precisamos verificar se os limites existem em todo o resto do domínio da função. Para as funções polinomial , linear e a raiz quadrada , os limites existem em todos os outros pontos, já que são funções contínuas em seus respectivos intervalos.
Resposta
Os limites da função existem em todos os pontos exceto em e .