Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de determinar as assíntotas das funções listadas. Aqui, estamos falando sobre assíntotas, que são linhas que a curva de uma função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de assíntotas: horizontal, vertical e oblíqua. Vamos analisar cada função uma por uma.

Passo 2

Parte (a)

Primeiro, vamos ver se essa função tem assíntotas. Funções de raiz quadrada geralmente não têm assíntotas verticais porque o que está dentro da raiz deve ser não negativo. Vamos verificar o comportamento quando tende ao infinito.
Para encontrar uma assíntota oblíqua ou horizontal, observamos o comportamento da função para valores muito grandes de . Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Para positivo e muito grande, isso se aproxima de . Então, a função se comporta como uma linha reta, indicando uma assíntota oblíqua.

Passo 3

Parte (b)

A função exponencial é sempre crescente e nunca corta o eixo . Vamos verificar as possíveis assíntotas.
Quando tende a , também tende a , e quando tende a , tende a 0. A linha (o eixo ) pode ser uma assíntota horizontal porque a função se aproxima de 0 quando vai para .

Passo 4

Parte ©

Vamos simplificar essa função para facilitar a análise:
Agora, observamos o comportamento quando tende ao infinito:
Isso sugere que há uma assíntota oblíqua. Para encontrar a equação dessa assíntota, dividimos o numerador pelo denominador:
Dividindo por , temos:
Então, a assíntota oblíqua é .

Passo 5

Parte (d)

A função logarítmica está definida para . Vamos analisar as possíveis assíntotas.
Quando tende a 0 pelo lado positivo, tende a . Isso indica uma assíntota vertical na linha .
Quando tende a , também tende a . Não há assíntota horizontal ou oblíqua nesse caso.

Resposta

(a) A função tem uma assíntota oblíqua .
(b) A função tem uma assíntota horizontal em .
© A função tem uma assíntota oblíqua .
(d) A função tem uma assíntota vertical em .

Exercícios relacionados

Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
Um resultado bastante utilizado é que, para grande o bastante, é muito maior que (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e é muito menor que (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio: .
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .