Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de determinar as assíntotas das funções listadas. Aqui, estamos falando sobre assíntotas, que são linhas que a curva de uma função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de assíntotas: horizontal, vertical e oblíqua. Vamos analisar cada função uma por uma.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos ver se essa função tem assíntotas. Funções de raiz quadrada geralmente não têm assíntotas verticais porque o que está dentro da raiz deve ser não negativo. Vamos verificar o comportamento quando
tende ao infinito.
Para encontrar uma assíntota oblíqua ou horizontal, observamos o comportamento da função para valores muito grandes de
. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Para
positivo e muito grande, isso se aproxima de
. Então, a função se comporta como uma linha reta, indicando uma assíntota oblíqua.
Passo 3
Parte (b)
A função exponencial
é sempre crescente e nunca corta o eixo
. Vamos verificar as possíveis assíntotas.
Quando
tende a
,
também tende a
, e quando
tende a
,
tende a 0. A linha
(o eixo
) pode ser uma assíntota horizontal porque a função se aproxima de 0 quando
vai para
.
Passo 4
Parte ©
Vamos simplificar essa função para facilitar a análise:
Agora, observamos o comportamento quando
tende ao infinito:
Isso sugere que há uma assíntota oblíqua. Para encontrar a equação dessa assíntota, dividimos o numerador pelo denominador:
Dividindo
por
, temos:
Então, a assíntota oblíqua é
.
Passo 5
Parte (d)
A função logarítmica
está definida para
. Vamos analisar as possíveis assíntotas.
Quando
tende a 0 pelo lado positivo,
tende a
. Isso indica uma assíntota vertical na linha
.
Quando
tende a
,
também tende a
. Não há assíntota horizontal ou oblíqua nesse caso.
Resposta
(a) A função
tem uma assíntota oblíqua
.
(b) A função
tem uma assíntota horizontal em
.
© A função
tem uma assíntota oblíqua
.
(d) A função
tem uma assíntota vertical em
.
Exercícios relacionados
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
(a)
(b)
(a)
(b)
Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio: .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio:
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
(a)
(b)
©