Dadas as funções definidas implicitamente abaixo, encontre

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida implicitamente pela equação . O que a gente precisa encontrar é a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o método de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde está misturado com , como aqui, a gente não tem isolado. A derivação implícita nos permite encontrar diferenciando ambos os lados da equação com respeito a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando cada termo da equação em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo:
  1. Para , usamos a regra da cadeia: .
  2. Para , a derivada é .
  3. A derivada de uma constante, como , é .
Ficando assim:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Vamos subtrair de ambos os lados:

Passo 6

Por último, dividimos ambos os lados por para resolver :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Em cada caso, dada , encontre: & :
;
Determine o domínio de:
.