Dadas as funções
definidas implicitamente abaixo, encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida implicitamente pela equação
. O que a gente precisa encontrar é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o método de derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde
está misturado com
, como aqui, a gente não tem
isolado. A derivação implícita nos permite encontrar
diferenciando ambos os lados da equação com respeito a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando cada termo da equação
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo:
- Para
, usamos a regra da cadeia: . - Para
, a derivada é . - A derivada de uma constante, como
, é .
Ficando assim:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 6
Por último, dividimos ambos os lados por
para resolver
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Em cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Determine o domínio de: