lim x 3 x^3-2 x^2-2 x-32 x^2-4 x-6.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o limite . Esse exercício está na matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e verificar se podemos cancelar termos que estejam causando indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^3 - 2 cdot 3^2 - 2 cdot 3 - 32 cdot 3^2 - 4 cdot 3 - 6 = 27 - 18 - 6 - 318 - 12 - 6 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação x^3 - 2x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x^2 + x + 1) , uma estratégia é fatorar o numerador e o denominador para identificar termos comuns que possam ser cancelados. Vamos começar fatorando o numerador 2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2 - 2x - 3) .
Vamos procurar por um fator comum. Testando x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) , vemos que ele é uma raiz do numerador, então 2(x - 3)(x + 1) é um fator.
Usando a divisão polinomial ou a regra de fatoração, podemos fatorar:
Agora, vamos fatorar o denominador :
Podemos tirar um fator comum de 2:
E o polinômio quadrático pode ser fatorado:
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora que fatoramos ambos, numerador e denominador, podemos reescrever a expressão do limite:
lim x 3 (x - 3)(x^2 + x + 1)2(x - 3)(x + 1)
Observe que o termo lim x 3 x^2 + x + 12(x + 1) aparece tanto no numerador quanto no denominador. A gente pode cancelar esse termo, já que (estamos buscando o limite, não o valor exato em ):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 3^2 + 3 + 12(3 + 1) = 9 + 3 + 12 cdot 4 = 138 diretamente sem cair em uma forma indeterminada:

Resposta

O limite é .

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