Dadas as funções definidas por:
e
(a) Calcule
, mostre que
e faça um esboço do gráfico da
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve cálculo de limite e propriedades de funções. A gente tem duas funções definidas por partes,
e
. O que precisamos fazer aqui é calcular o limite de
quando
se aproxima de
, mostrar que esse limite é diferente do valor de
e, por fim, esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites e como interpretar a definição de funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. A função
está definida por duas expressões dependendo de
. Para calcular o limite quando
se aproxima de
, olhamos o comportamento de
perto de
, mas sem incluir o ponto
.
A função é:
Então, para
,
. Vamos usar essa expressão para calcular o limite.
Passo 3
Vamos substituir
por
na expressão
:
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor de
. De acordo com a definição da função:
Então, temos:
Isso mostra que o limite da função
quando
se aproxima de
não é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 5
Para entender melhor, vamos esboçar o gráfico da função
. A função
é uma parábola com vértice no ponto
. No entanto, a função está definida por partes:
- Para todos os valores de
diferentes de , a função segue a parábola . - No ponto
, ao invés de seguir a parábola, a função tem o valor , que é um ponto separado.
No gráfico, isso significa que teremos a parábola
com um “buraco” no ponto
(onde estava
), e um ponto solto em
.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
.
é derivável em
? Por quê?
Seja
. Esboce o gráfico de
.
Dadas as funções definidas por:
e
(b) Calcule , mostre que
e faça um esboço do gráfico da
.
(b) Calcule
Dadas as funções definidas por várias sentenças abaixo, determine o valor do limite no ponto indicado:
a) , sendo
a)