Seja g(x) = { x + 1, se x < 1; -x + 3, se x ≥ 1 }. g é derivável em p = 1 ? Por quê?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como elas funcionam em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá.
Para , . Se pegarmos próximo de 1 pela esquerda:
Para , . Se pegarmos próximo de 1 pela direita:
Como , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em .
A derivada de para (função ) é:
A derivada de para (função ) é:

Passo 4

Para que seja derivável em , as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Aqui temos:
Como 1 não é igual a -1, as derivadas laterais são diferentes.

Resposta

Não, a função não é derivável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.

Exercícios relacionados

Seja g(x) = { x + 1, se x < 1; -x + 3, se x ≥ 1 }. Esboce o gráfico de g.
f é derivável em x = 1
Dadas as funções definidas por: f(x)=llx^2-9 & se x neq-3 -4 & se x=-3 e g(x)=llx^2-9 & se x neq-3 +4 & se x=-3
(a) Calcule lim x -3 f(x), mostre que lim x -3 f(x) neq f(-3) e faça um esboço do gráfico da f.
Dadas as funções definidas por: f(x)=llx^2-9 & se x neq-3 -4 & se x=-3 e g(x)=llx^2-9 & se x neq-3 +4 & se x=-3
(b) Calcule lim x -3 g(x), mostre que lim x -3 g(x) neq g(-3) e faça um esboço do gráfico da g.