Seja
.
é derivável em
? Por quê?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como elas funcionam em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Uma função precisa ser contínua em um ponto para ser derivável lá.
Para
,
. Se pegarmos
próximo de 1 pela esquerda:
Para
,
. Se pegarmos
próximo de 1 pela direita:
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em
.
A derivada de
para
(função
) é:
A derivada de
para
(função
) é:
Passo 4
Para que
seja derivável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Aqui temos:
Como 1 não é igual a -1, as derivadas laterais são diferentes.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.
Exercícios relacionados
Seja
. Esboce o gráfico de
.
Dadas as funções definidas por:
e
(a) Calcule , mostre que
e faça um esboço do gráfico da
.
(a) Calcule
Dadas as funções definidas por:
e
(b) Calcule , mostre que
e faça um esboço do gráfico da
.
(b) Calcule