Dadas as funções definidas por várias sentenças abaixo, determine o valor do limite no ponto indicado:
a) lim x 0 f(x), sendo f(x)=l-x+82, x<0 x^2-4 x+4,0 <= x <= 4 5, x>4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 f(x), onde a função f(x) é definida de forma diferente em três intervalos de x. Aqui, estamos lidando com funções por partes e vamos usar o conceito de limites laterais para encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 0. Precisamos verificar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0) e pela direita (valores maiores ou iguais a 0).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0 vindo de valores menores que 0. Nesse intervalo, a função é definida por:
f(x) = -x + 82
Então, substituímos x por 0 nessa expressão:
limx to 0^- f(x) = -0 + 82 = 82 = 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0 vindo de valores maiores ou iguais a 0. Nesse intervalo, a função é definida por:
f(x) = x^2 - 4x + 4
Substituímos x por 0 nessa expressão:
limx to 0^+ f(x) = 0^2 - 4 cdot 0 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4

Passo 4

Agora que temos os limites pelas duas direções, vamos comparar:
  • Limite pela esquerda: 4
  • Limite pela direita: 4
Como os limites laterais são iguais, podemos concluir que o limite quando x se aproxima de 0 existe e é igual a 4.

Resposta

lim x 0 f(x) = 4

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