Dadas as funções definidas por: e
(b) Calcule , mostre que e faça um esboço do gráfico da .
Passo 1
Vamos resolver a parte (b) do exercício que envolve encontrar o limite da função quando se aproxima de , mostrar que esse limite é diferente de e fazer um esboço do gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como ele se relaciona com o valor da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função é definida de forma diferente para e para . Para valores de próximos a (mas diferentes de ), usamos a expressão .
Então, calculamos:
Passo 3
Vamos substituir por na expressão :
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor de . De acordo com a definição da função :
Passo 5
Comparamos o limite que encontramos com o valor da função em :
Isso nos mostra que o limite da função quando se aproxima de é diferente do valor da função naquele ponto.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função . A função é definida por duas partes:
Para , , que é uma parábola com vértice em .
Para , , o que significa que há um ponto fechado em .
No esboço, desenhamos a parábola e marcamos um ponto fechado em . Além disso, há um “buraco” na parábola em porque o limite ali é , mas a função tem um valor diferente.