Dadas as funções definidas por:
e
(b) Calcule
, mostre que
e faça um esboço do gráfico da
.
(b) Calcule
Passo 1
Vamos resolver a parte (b) do exercício que envolve encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
, mostrar que esse limite é diferente de
e fazer um esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como ele se relaciona com o valor da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função
é definida de forma diferente para
e para
. Para valores de
próximos a
(mas diferentes de
), usamos a expressão
.
Então, calculamos:
Passo 3
Vamos substituir
por
na expressão
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor de
. De acordo com a definição da função
:
Passo 5
Comparamos o limite que encontramos com o valor da função em
:
Isso nos mostra que o limite da função
quando
se aproxima de
é diferente do valor da função naquele ponto.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
. A função é definida por duas partes:
- Para
, , que é uma parábola com vértice em . - Para
, , o que significa que há um ponto fechado em .
No esboço, desenhamos a parábola
e marcamos um ponto fechado em
. Além disso, há um “buraco” na parábola em
porque o limite ali é
, mas a função tem um valor diferente.