Dadas as funções e . Determine:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três funções:
A pergunta quer que a gente determine a composição , que significa aplicar primeiro a função e depois a função inversa de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber como achar a função inversa de e depois substituir nessa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de , que é . A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Para encontrar , seguimos estes passos:
  1. Escrevemos :
  2. Resolvemos essa equação para :
  3. Agora, substituímos por para obter a função inversa:

Passo 3

Agora que temos a função inversa de , vamos aplicar isso na composição . Isso significa que vamos substituir na função :
Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Simplificando a expressão:

Resposta

A composição resulta em:

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Derive as seguintes funções:
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Determine as funções parte real e parte imaginária das seguintes funções complexas de complexa: