Determine as funções parte real e parte imaginária das seguintes funções complexas de complexa:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função complexa dada por . O objetivo é encontrar a parte real e a parte imaginária dessa função. Para isso, vamos precisar usar a representação de números complexos na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. Também vamos precisar racionalizar a expressão para separar as partes reais e imaginárias.

Passo 2

Vamos começar substituindo por na função:

Passo 3

Para simplificar essa expressão e separar as partes real e imaginária, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é :

Passo 4

Vamos multiplicar os termos no numerador e no denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 5

Agora, temos:
Podemos separar as partes real e imaginária dividindo cada termo:
Parte real:
Parte imaginária:

Resposta

As funções parte real e parte imaginária de são:

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Derive as seguintes funções:
Dadas as funções e . Determine:
Seja um ponto crítico de satisfazendo
Em tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
Determine a função derivada de , pela definição.