Dadas as funções f(x)=-x-3 e g(x)=4 x+k, determine o valor de k de modo que g o f=f o g

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A pergunta quer que encontremos o valor de de forma que a composição das funções seja igual, ou seja, . Isso significa que aplicar depois dá o mesmo resultado que aplicar depois .

Passo 2

Vamos lembrar o que é composição de funções. A composição (g circ f)(x) = g(f(x)) significa que primeiro aplicamos (f circ g)(x) = f(g(x)) e depois aplicamos no resultado. Matemáticamente, isso é escrito como:
Da mesma forma:

Passo 3

Vamos calcular f(x) = -x - 3 . Primeiro, encontramos g(f(x)) = g(-x - 3) = 4(-x - 3) + k :
g(f(x)) = -4x - 12 + k
Agora, substituímos g(f(x)) = -4x + (k - 12) na função :

Passo 4

Agora, vamos calcular g(x) = 4x + k . Primeiro, encontramos f(g(x)) = f(4x + k) = -(4x + k) - 3 :
f(g(x)) = -4x - k - 3
Substituímos f(g(x)) = -4x + (-k - 3) na função :

Passo 5

Agora, sabemos que -4x + (k - 12) = -4x + (-k - 3) . Então, igualamos as duas expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos eliminar o termo k - 12 = -k - 3 de ambos os lados:
k + k - 12 = -3
Agora, vamos resolver para 2k - 12 = -3 . Primeiro, adicionamos 2k = 9 a ambos os lados:
k = 92
k = 4,5
Em seguida, adicionamos 12 a ambos os lados:
Finalmente, dividimos por 2:

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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