Dados os pontos A (p, 2); B (3, -1); F (2, q) e G (4,-2) para que A B=F G, determine: p - 2 q

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos A(p, 2), B(3, -1), F(2, q) e G(4, -2). A questão diz que o vetor de A para B é igual ao vetor de F para G, ou seja, . Nosso objetivo é descobrir o valor de .
Vamos usar um pouco de geometria analítica e vetores para resolver isso. Precisamos entender como calcular os vetores entre dois pontos e igualar as componentes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor entre dois pontos. Se temos dois pontos, digamos, PQ = (x2 - x1, y2 - y1) e , o vetor é dado por:
Então, vamos aplicar isso aos vetores e .

Passo 3

Calculando AB = (3 - p, -1 - 2) = (3 - p, -3) :
FG = (4 - 2, -2 - q) = (2, -2 - q)
Agora, calculando :

Passo 4

A condição dada é que 3 - p = 2 (para a componente x) . Isso significa que as componentes correspondentes dos vetores devem ser iguais. Então, temos:
-3 = -2 - q (para a componente y)

Passo 5

Vamos resolver as equações encontradas:
Primeira equação:
3 - p = 2 Rightarrow p = 3 - 2 Rightarrow p = 1
Segunda equação:
-3 = -2 - q Rightarrow -3 + 2 = -q Rightarrow -1 = -q Rightarrow q = 1

Resposta

Substituindo p - 2q = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1 e na expressão :
Portanto, .

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