Dadas as funções
e
(b) Idem para a função
.
(b) Idem para a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu duas funções definidas por partes, que neste caso é o que chamamos de funções à parte. A primeira é
e a segunda, que acredito que seja
(acho que teve um errinho de digitação). Essas funções têm comportamentos diferentes dependendo do valor de
. Para resolver o que você precisa, vamos precisar entender como essas funções se comportam em cada intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
que você mencionou:
Aqui,
tem duas regras diferentes:
- Para
: - Para
:
Isso significa que, dependendo do valor de
, a saída da função muda.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
em cada intervalo.
-
Quando
: - A função é
, que é uma parábola que abre para cima. - Por exemplo, se
, então . - Se
, .
- A função é
-
Quando
: - A função é simplesmente
, que é uma reta horizontal. - Não importa qual valor de
seja, desde que seja maior que 1, sempre será 2. - Por exemplo, se
, ; se , .
- A função é simplesmente
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é contínua em
. A continuidade significa que não há “saltos” ou “interrupções” na função.
Para isso, precisamos calcular os limites da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor da função em
.
-
Limite pela esquerda (
): - Usamos a parte da função para
: . - Então,
.
- Usamos a parte da função para
-
Limite pela direita (
): - Usamos a parte da função para
: . - Então,
.
- Usamos a parte da função para
-
Valor da função em
: -
.
-
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais (
), a função
apresenta uma descontinuidade em
.
Passo 5
Para visualizar melhor, vamos esboçar o gráfico de
:
- Para
: Uma parábola começando de baixo, passando por e . - Para
: Uma linha horizontal no nível .
No ponto
, a parábola atinge
, mas imediatamente após
, a função salta para
, criando uma quebra no gráfico.
Passo 6
Resumindo, analisamos a função
definida por partes, verificamos seu comportamento em diferentes intervalos de
, e observamos que ela não é contínua em
devido ao salto no valor da função.
Resposta
A função
definida por partes apresenta uma descontinuidade em
, pois os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto não são iguais. Para
,
, e para
,
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
definidas pelas relações:
Quais das funções abaixo são contínuas:
c)
Quais das funções abaixo são contínuas:
c)
Determine o limite:
(b)
(b)
Sejam
e
definidas pelas relações:
Quais das funções abaixo são contínuas:
a)
Quais das funções abaixo são contínuas:
a)
Determine os valores das constantes
e
de tal forma que a função abaixo seja contínua em