Dadas as funções e
(b) Idem para a função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu duas funções definidas por partes, que neste caso é o que chamamos de funções à parte. A primeira é e a segunda, que acredito que seja (acho que teve um errinho de digitação). Essas funções têm comportamentos diferentes dependendo do valor de . Para resolver o que você precisa, vamos precisar entender como essas funções se comportam em cada intervalo de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que você mencionou:
Aqui, tem duas regras diferentes:
  • Para :
  • Para :
Isso significa que, dependendo do valor de , a saída da função muda.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de em cada intervalo.
  1. Quando :
    • A função é , que é uma parábola que abre para cima.
    • Por exemplo, se , então .
    • Se , .
  2. Quando :
    • A função é simplesmente , que é uma reta horizontal.
    • Não importa qual valor de seja, desde que seja maior que 1, sempre será 2.
    • Por exemplo, se , ; se , .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é contínua em . A continuidade significa que não há “saltos” ou “interrupções” na função.
Para isso, precisamos calcular os limites da função quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor da função em .
  1. Limite pela esquerda ( ):
    • Usamos a parte da função para : .
    • Então, .
  2. Limite pela direita ( ):
    • Usamos a parte da função para : .
    • Então, .
  3. Valor da função em :
    • .
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), a função apresenta uma descontinuidade em .

Passo 5

Para visualizar melhor, vamos esboçar o gráfico de :
  • Para : Uma parábola começando de baixo, passando por e .
  • Para : Uma linha horizontal no nível .
No ponto , a parábola atinge , mas imediatamente após , a função salta para , criando uma quebra no gráfico.

Passo 6

Resumindo, analisamos a função definida por partes, verificamos seu comportamento em diferentes intervalos de , e observamos que ela não é contínua em devido ao salto no valor da função.

Resposta

A função definida por partes apresenta uma descontinuidade em , pois os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto não são iguais. Para , , e para , .

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Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
c)
Determine o limite:
(b)
Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
a)
Determine os valores das constantes e de tal forma que a função abaixo seja contínua em