Sejam f e g definidas pelas relações:
f(x)=rll3 x, & se & x<1, 2, & se & x >= 1 e g(x)=rll2, & se & x<1, 1-x, & se & x >= 1
Quais das funções abaixo são contínuas:
a) f+g

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quais das funções são contínuas. Neste caso, vamos analisar a soma das funções e . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como somar funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da função f(x) = 3x e g(x) = 2 . Como f(x) + g(x) = 3x + 2 e f(x) = 2 e g(x) = 1 - x são definidas por partes, precisamos considerar os intervalos onde as definições mudam, que é em f(x) + g(x) = 2 + (1 - x) = 3 - x .
Para (f + g)(x) = 3x + 2, & se x < 1 3 - x, & se x >= 1 :
Então,
Para :
Então,
Portanto, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade dessa função. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda e pelo direito nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos analisar o ponto limx to 1^- (f + g)(x) = limx to 1^- (3x + 2) = 3(1) + 2 = 5 :
  1. Limite pela esquerda ( limx to 1^+ (f + g)(x) = limx to 1^+ (3 - x) = 3 - 1 = 2 ):
(f + g)(1) = 3 - 1 = 2
  1. Limite pela direita ( ):
  1. Valor da função em :

Passo 4

Comparando os limites:
limx to 1^- (f + g)(x) = 5 neq limx to 1^+ (f + g)(x) = 2
Como os limites não são iguais, a função apresenta uma descontinuidade no ponto .

Resposta

A função não é contínua.

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