Determine os valores das constantes e de tal forma que a função abaixo seja contínua em

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função em partes, ou seja, define a função de maneiras diferentes dependendo do valor de . O objetivo é encontrar os valores das constantes e para que essa função seja contínua em todo o domínio real, ou seja, de a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” nesse ponto. No nosso caso, a função muda de uma expressão para outra nos pontos e . Então, precisamos garantir que não haja quebra nesses pontos.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em . Para isso, calculamos o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita, e igualamos esses limites ao valor da função em .

Passo 4

Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:

Passo 5

Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela direita é:

Passo 6

Como a função precisa ser contínua em , igualamos os limites:
Esse é o nosso primeiro equacionamento.

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade em . Novamente, calculamos os limites pela esquerda e pela direita e igualamos ao valor da função em .

Passo 8

Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda é:

Passo 9

Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 5 pela direita é:

Passo 10

Igualando os limites para garantir a continuidade em :
Esse é o nosso segundo equacionamento.

Passo 11

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 12

Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :

Passo 13

Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

As constantes são e .

Exercícios relacionados

Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
a)
Dadas as funções e
(b) Idem para a função .
Existe um número tal que
existe? Em caso afirmativo encontre e o valor do limite.
Determine o limite:
(a)
a yes conu o cenaminacon tende a
tencle a -2 , enteá pana todu ralon a limite exute.