Determine os valores das constantes e de tal forma que a função abaixo seja contínua em
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função em partes, ou seja, define a função de maneiras diferentes dependendo do valor de . O objetivo é encontrar os valores das constantes e para que essa função seja contínua em todo o domínio real, ou seja, de a .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras” ou “saltos” nesse ponto. No nosso caso, a função muda de uma expressão para outra nos pontos e . Então, precisamos garantir que não haja quebra nesses pontos.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em . Para isso, calculamos o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita, e igualamos esses limites ao valor da função em .
Passo 4
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda é:
Passo 5
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela direita é:
Passo 6
Como a função precisa ser contínua em , igualamos os limites:
Esse é o nosso primeiro equacionamento.
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade em . Novamente, calculamos os limites pela esquerda e pela direita e igualamos ao valor da função em .
Passo 8
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 5 pela esquerda é:
Passo 9
Para , a função é . Então, o limite quando se aproxima de 5 pela direita é:
Passo 10
Igualando os limites para garantir a continuidade em :
Esse é o nosso segundo equacionamento.
Passo 11
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 12
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Passo 13
Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar :