Dadas as funções, faça o que se pede II. f(x, y)=c(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0) Verifique se as derivadas fx e fy são contínuas em (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais e da função dada são contínuas no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em e verificar a continuidade delas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y) = (x^2+y^2) sin(1x^2+y^2) & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) . Ela é definida de duas formas:
Queremos analisar as derivadas parciais e no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0)h . A definição de derivada parcial em relação a no ponto é:
Como , a expressão fica:

Passo 4

Substituindo f(h, 0) = h^2 sin(1h^2) na função fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2)h = limh to 0 h sin(1h^2) :
Então,

Passo 5

Sabemos que |h sin(1h^2)| <= |h| para qualquer limh to 0 h sin(1h^2) = 0 . Assim,
fx(0,0) = 0
Quando , . Pelo Teorema do Encanamento (Sandwich Theorem),
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 f(0, k)k em f(0, k) = k^2 sin(1k^2) . De forma semelhante:
fy(0,0) = limk to 0 k^2 sin(1k^2)k = limk to 0 k sin(1k^2)
Substituindo na função :
Então,

Passo 7

Novamente, usando que |k sin(1k^2)| <= |k| :
limk to 0 k sin(1k^2) = 0
Quando fy(0,0) = 0 , . Pelo Teorema do Encanamento,
Portanto,

Passo 8

Agora que temos lim(x, y) to (0,0) fx(x, y) = fx(0,0) = 0 e , vamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto .
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no ponto. Então, precisamos verificar se:
E o mesmo para .

Passo 9

Para verificar a continuidade de e em , precisaríamos conhecer as expressões gerais de e para e então analisar seus limites. Contudo, devido à forma oscilatória da função seno com , essas derivadas não se estabilizam quando se aproxima de .
As oscilações de tornam os limites de e inexistentes ou não iguais a zero, o que significa que as derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e são contínuas em porque seus limites coincidem com os valores das derivadas no ponto.

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