Dadas as funções, faça o que se pede II.
Verifique se as derivadas
e
são contínuas em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais
e
da função dada são contínuas no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em
e verificar a continuidade delas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas formas:
Queremos analisar as derivadas parciais
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial
em
. A definição de derivada parcial em relação a
no ponto
é:
Como
, a expressão fica:
Passo 4
Substituindo
na função
:
Então,
Passo 5
Sabemos que
para qualquer
. Assim,
Quando
,
. Pelo Teorema do Encanamento (Sandwich Theorem),
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial
em
. De forma semelhante:
Substituindo
na função
:
Então,
Passo 7
Novamente, usando que
:
Quando
,
. Pelo Teorema do Encanamento,
Portanto,
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto
.
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no ponto. Então, precisamos verificar se:
E o mesmo para
.
Passo 9
Para verificar a continuidade de
e
em
, precisaríamos conhecer as expressões gerais de
e
para
e então analisar seus limites. Contudo, devido à forma oscilatória da função seno com
, essas derivadas não se estabilizam quando
se aproxima de
.
As oscilações de
tornam os limites de
e
inexistentes ou não iguais a zero, o que significa que as derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais
e
são contínuas em
porque seus limites coincidem com os valores das derivadas no ponto.
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onde
e S é a superfície do sólido limitado por
o plano xy. Sugestão: Use coordenadas esféricas.
Seja
a parte do cone
que está dentro do cilindro
e no primeiro octante. Determine a área da superfície S .
Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais: