Dadas as funções, faça o que se pede II. Verifique se as derivadas e são contínuas em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as derivadas parciais e da função dada são contínuas no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em e verificar a continuidade delas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas formas:
Queremos analisar as derivadas parciais e no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial em . A definição de derivada parcial em relação a no ponto é:
Como , a expressão fica:

Passo 4

Substituindo na função :
Então,

Passo 5

Sabemos que para qualquer . Assim,
Quando , . Pelo Teorema do Encanamento (Sandwich Theorem),
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em . De forma semelhante:
Substituindo na função :
Então,

Passo 7

Novamente, usando que :
Quando , . Pelo Teorema do Encanamento,
Portanto,

Passo 8

Agora que temos e , vamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto .
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função no ponto. Então, precisamos verificar se:
E o mesmo para .

Passo 9

Para verificar a continuidade de e em , precisaríamos conhecer as expressões gerais de e para e então analisar seus limites. Contudo, devido à forma oscilatória da função seno com , essas derivadas não se estabilizam quando se aproxima de .
As oscilações de tornam os limites de e inexistentes ou não iguais a zero, o que significa que as derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e são contínuas em porque seus limites coincidem com os valores das derivadas no ponto.

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