Seja
a parte do cone
que está dentro do cilindro
e no primeiro octante. Determine a área da superfície S .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar a área de uma parte de um cone dado pela equação
. Essa parte do cone está dentro de um cilindro
e no primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações. A equação
representa um cone com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo
. O cilindro
é um cilindro circular com raio
e eixo ao longo do
.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, os valores de
,
e
são positivos. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, onde:
No primeiro octante,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, parametrizamos a superfície do cone. Da equação
, podemos isolar
:
Usando coordenadas cilíndricas, fica:
Para a área da superfície, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Após simplificar e resolver a integral, encontramos a área desejada.
Resposta
A área da superfície
é
.