Seja a parte do cone que está dentro do cilindro e no primeiro octante. Determine a área da superfície S .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar a área de uma parte de um cone dado pela equação . Essa parte do cone está dentro de um cilindro e no primeiro octante (onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações. A equação representa um cone com vértice na origem e simétrico em relação ao eixo . O cilindro é um cilindro circular com raio e eixo ao longo do .
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, os valores de , e são positivos. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, onde:
No primeiro octante, varia de a .
Passo 4
Agora, parametrizamos a superfície do cone. Da equação , podemos isolar :
Usando coordenadas cilíndricas, fica:
Para a área da superfície, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Após simplificar e resolver a integral, encontramos a área desejada.