Use o Teorema da Divergência para determinar integral duplaS F cdot n d S onde F(x, y, z)=(x^3-e^y, y^3+sen(z), z^3-x y) e S é a superfície do sólido limitado por z=raiz4-x^2-y^2 e o plano xy. Sugestão: Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot n , dS, onde . A superfície F(x, y, z) = (x^3-e^y, y^3+sen(z), z^3-x y) delimita um sólido que está acima do plano S e abaixo da superfície xy, que é como a parte superior de uma esfera de raio z = raiz4 - x^2 - y^2. Vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo usando coordenadas esféricas.

Passo 2

O Teorema da Divergência nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Em fórmula:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular o divergente de F e integrar sobre o volume V.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada derivada:
  • partialpartial x(x^3 - e^y) = 3x^2
  • partialpartial y(y^3 + sen(z)) = 3y^2
Portanto:
partialpartial z(z^3 - x y) = 3z^2

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume V. A superfície superior é z = raiz4 - x^2 - y^2, que representa a parte superior de uma esfera de raio 2, e a superfície inferior é o plano xy, onde z = 0. Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
O volume será então uma esfera de raio 2, então rho varia de 0 a 2, phi de 0 a pi2 (já que z >= 0) e theta de 0 a 2pi.

Passo 5

A expressão para o divergente em coordenadas esféricas fica:
nabla cdot F = 3(rho^2 sin^2phi cos^2theta + rho^2 sin^2phi sin^2theta + rho^2 cos^2phi) = 3rho^2
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:
integral triplaV 3rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = 3 integral0^2pi integral0^pi2 integral0^2 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver cada integral uma por uma.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 325
Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi2 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi2 = 1
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Agora, multiplicamos todos os resultados:
3 cdot 325 cdot 1 cdot 2pi = 1925 pi

Resposta

A integral de fluxo integral duplaS F cdot n , dS é igual a 1925 pi.

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