Use o Teorema da Divergência para determinar
onde
e S é a superfície do sólido limitado por
o plano xy. Sugestão: Use coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de fluxo
, onde . A superfície
delimita um sólido que está acima do plano
e abaixo da superfície
, que é como a parte superior de uma esfera de raio
. Vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo usando coordenadas esféricas.
Passo 2
O Teorema da Divergência nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Em fórmula:
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular o divergente de
e integrar sobre o volume
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume
. A superfície superior é
, que representa a parte superior de uma esfera de raio
, e a superfície inferior é o plano
, onde
. Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
O volume será então uma esfera de raio
, então
varia de
a
,
de
a
(já que
) e
de
a
.
Passo 5
A expressão para o divergente em coordenadas esféricas fica:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla:
Vamos resolver cada integral uma por uma.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos todos os resultados:
Resposta
A integral de fluxo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
a parte do cone
que está dentro do cilindro
e no primeiro octante. Determine a área da superfície S .
Seja
um campo vetorial. Usando o Teorema de Green mostre que se C é uma curva fechada de interior D e
é um vetor tangente unitário a cada ponto da curva C , então:
Dadas as funções, faça o que se pede II.
Verifique se as derivadas
e
são contínuas em