Use o Teorema da Divergência para determinar onde e S é a superfície do sólido limitado por o plano xy. Sugestão: Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de fluxo , onde . A superfície delimita um sólido que está acima do plano e abaixo da superfície , que é como a parte superior de uma esfera de raio . Vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo usando coordenadas esféricas.

Passo 2

O Teorema da Divergência nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume limitado por . Em fórmula:
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular o divergente de e integrar sobre o volume .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume . A superfície superior é , que representa a parte superior de uma esfera de raio , e a superfície inferior é o plano , onde . Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
O volume será então uma esfera de raio , então varia de a , de a (já que ) e de a .

Passo 5

A expressão para o divergente em coordenadas esféricas fica:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla:
Vamos resolver cada integral uma por uma.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, multiplicamos todos os resultados:

Resposta

A integral de fluxo é igual a .

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Dadas as funções, faça o que se pede II. Verifique se as derivadas e são contínuas em