Dadas as funções reais de variável real
e
, onde
é uma constante real com
, julgue os itens a seguir usando V para verdadeiro e F para falso.
Existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções:
e
, onde
é uma constante real que está entre 0 e 1 (
). A questão pede para verificar se existe algum número real
que, quando aplicamos uma função dentro da outra (
), o resultado é igual a aplicar apenas a função
em
. Ou seja, queremos saber se existe
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A notação
representa a composição das funções
e
, ou seja, aplicar
primeiro e depois
no resultado. Matematicamente, isso fica assim:
Vamos calcular
:
Agora, aplicamos
nesse resultado:
Passo 3
Agora, temos que comparar
com
. Vamos escrever
:
Queremos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para ver se existe algum
que a satisfaça:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, analisamos a equação
. Sabemos que
é uma constante real entre 0 e 1 (
). Então,
também será um número positivo, já que qualquer número real positivo ao quadrado continua positivo. Isso significa que:
Portanto, a equação
não tem solução dentro do intervalo dado para
.
Resposta
F