Dadas as funções reais de variável real f(x) = m x + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, julgue os itens a seguir usando V para verdadeiro e F para falso. ( ) Existe a in R tal que (f o g)(a) = f(a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções: e , onde é uma constante real que está entre 0 e 1 ( ). A questão pede para verificar se existe algum número real que, quando aplicamos uma função dentro da outra ( ), o resultado é igual a aplicar apenas a função em . Ou seja, queremos saber se existe tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A notação representa a composição das funções e , ou seja, aplicar primeiro e depois no resultado. Matematicamente, isso fica assim:
Vamos calcular :
Agora, aplicamos nesse resultado:

Passo 3

Agora, temos que comparar com . Vamos escrever :
Queremos que:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para ver se existe algum que a satisfaça:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, analisamos a equação . Sabemos que é uma constante real entre 0 e 1 ( ). Então, também será um número positivo, já que qualquer número real positivo ao quadrado continua positivo. Isso significa que:
Portanto, a equação não tem solução dentro do intervalo dado para .

Resposta

F

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