A função f(x) = x^2 + k x + 36 possui duas raízes, m e n, de modo que 1/m + 1/n = 5/12. Determine o valor de f(-1) nessa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática . Sabemos que essa função tem duas raízes, que vamos chamar de e . Além disso, nos deram uma condição: . Nosso objetivo é descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das raízes de uma função quadrática e como elas se relacionam com os coeficientes da função. Também vamos precisar manipular algumas equações para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função quadrática da forma , as raízes e estão relacionadas aos coeficientes da seguinte maneira:
  • Soma das raízes:
  • Produto das raízes:
No nosso caso, , e . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição que foi dada: .
Vamos simplificar essa expressão:
Sabemos que e , então substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 36 para isolar :
Calculando o lado direito:
Então:

Passo 5

Agora que encontramos , podemos substituir esse valor na função original para encontrar :

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Então:

Resposta

O valor de é 52.

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