Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais, e , além de uma função escalar . A pergunta é para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão .
Aqui, vamos trabalhar com funções vetoriais e escalares, e vamos aplicar conceitos de limites. Precisamos lembrar como multiplicar uma função escalar por uma função vetorial e como calcular limites de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma função escalar por uma função vetorial. Se você tem uma função escalar e uma função vetorial , então:
Isso significa que cada componente do vetor é multiplicada pela função escalar .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa questão. Sabemos que:
Multiplicando por :
Vamos simplificar cada componente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de cada componente dessa função vetorial quando se aproxima de 0:
Vamos calcular cada limite individualmente:
  1. (já que é uma constante)

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
Isso significa que o limite da função vetorial quando se aproxima de 0 é o vetor nulo.

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcule
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.