Dadas as funções vetoriais F(t)=lang<= 2 t, t, 1rang<= e G(t)=lang<= 0,3, raizt e a função escalar h(t)=5 t, calcule:
lim t 0[h(t) G(t)].

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais, e , além de uma função escalar . A pergunta é para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão .
Aqui, vamos trabalhar com funções vetoriais e escalares, e vamos aplicar conceitos de limites. Precisamos lembrar como multiplicar uma função escalar por uma função vetorial e como calcular limites de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma função escalar por uma função vetorial. Se você tem uma função escalar h(t) cdot G(t) = lang<= h(t) cdot g1(t), , h(t) cdot g2(t), , h(t) cdot g3(t) rang<= e uma função vetorial , então:
Isso significa que cada componente do vetor é multiplicada pela função escalar .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa questão. Sabemos que:
h(t) = 5t
G(t) = lang<= 0, 3, raizt rang<=
Multiplicando h(t) cdot G(t) = lang<= 5t cdot 0, , 5t cdot 3, , 5t cdot raizt rang<= por h(t) cdot G(t) = lang<= 0, , 15t, , 5t raizt rang<= :
Vamos simplificar cada componente:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de cada componente dessa função vetorial quando limt to 0 lang<= 0, , 15t, , 5t raizt rang<= = lang<= limt to 0 0, , limt to 0 15t, , limt to 0 5t raizt rang<= se aproxima de 0:
Vamos calcular cada limite individualmente:
  1. (já que é uma constante)

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
limt to 0 [h(t) cdot G(t)] = lang<= 0, 0, 0 rang<=
Isso significa que o limite da função vetorial quando se aproxima de 0 é o vetor nulo.

Resposta

limt to 0 [h(t) cdot G(t)] = lang<= 0, 0, 0 rang<=

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