Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais,
e
, além de uma função escalar
. A pergunta é para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
.
Aqui, vamos trabalhar com funções vetoriais e escalares, e vamos aplicar conceitos de limites. Precisamos lembrar como multiplicar uma função escalar por uma função vetorial e como calcular limites de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma função escalar por uma função vetorial. Se você tem uma função escalar
e uma função vetorial
, então:
Isso significa que cada componente do vetor
é multiplicada pela função escalar
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa questão. Sabemos que:
Multiplicando
por
:
Vamos simplificar cada componente:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de cada componente dessa função vetorial quando
se aproxima de 0:
Vamos calcular cada limite individualmente:
-
(já que é uma constante) -
-
Passo 5
Juntando tudo, temos que:
Isso significa que o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 0 é o vetor nulo.
Resposta
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Sejam
e
. Calcule
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.