Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem a função e um ponto . A tarefa é encontrar as direções (vetores unitários) nas quais essa função aumenta e diminui mais rapidamente em . Depois disso, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto nos dá a direção de aumento mais rápido da função nesse ponto. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, para encontrar as direções onde a função aumenta e diminui mais rapidamente em , precisamos normalizar o gradiente. Isso significa dividir o gradiente pela sua magnitude para obter um vetor unitário.
A magnitude do gradiente é:
Então, o vetor unitário na direção do aumento mais rápido é:
E a direção de diminuição mais rápida é simplesmente o negativo desse vetor:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente de por :
Para a direção de aumento mais rápido:
E para a direção de diminuição mais rápida:

Resposta

As direções nas quais a função aumenta e diminui mais rapidamente no ponto são os vetores unitários:
As derivadas direcionais nessas direções são:

Exercícios relacionados

Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
Sejam e . Calcule
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.