Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem a função
e um ponto
. A tarefa é encontrar as direções (vetores unitários) nas quais essa função aumenta e diminui mais rapidamente em
. Depois disso, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto nos dá a direção de aumento mais rápido da função nesse ponto. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, para encontrar as direções onde a função aumenta e diminui mais rapidamente em
, precisamos normalizar o gradiente. Isso significa dividir o gradiente pela sua magnitude para obter um vetor unitário.
A magnitude do gradiente é:
Então, o vetor unitário na direção do aumento mais rápido é:
E a direção de diminuição mais rápida é simplesmente o negativo desse vetor:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente de
por
:
Para a direção de aumento mais rápido:
E para a direção de diminuição mais rápida:
Resposta
As direções nas quais a função
aumenta e diminui mais rapidamente no ponto
são os vetores unitários:
As derivadas direcionais nessas direções são:
Exercícios relacionados
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
Sejam
e
. Calcule
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.