Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir as direções (ouvindo vetores unitários) onde a função aumenta e diminui mais rapidamente num ponto específico . Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivadas direcionais da matemática multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

As direções onde a função aumenta mais rapidamente são dadas pelo vetor gradiente e pelas direções onde ela diminui mais rapidamente são dadas pelo vetor oposto de . Mas precisamos que esses vetores sejam unitários, ou seja, tenham comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o gradiente.
A norma do gradiente é:
Então, o vetor unitário na direção do aumento é:
E o vetor unitário na direção da diminuição é:
çã

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente com :
Para a direção de aumento:
E para a direção de diminuição:
çã

Resposta

As direções onde aumenta e diminui mais rapidamente no ponto s��o, respectivamente, o vetor unitário na direção do gradiente e seu oposto. As derivadas direcionais nessas direções são para aumento e para diminuição.

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Seja . Encontre as direções (com unitário) e os valores para os quais: