Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir as direções (ouvindo vetores unitários) onde a função
aumenta e diminui mais rapidamente num ponto específico
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivadas direcionais da matemática multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
As direções onde a função
aumenta mais rapidamente são dadas pelo vetor gradiente
e pelas direções onde ela diminui mais rapidamente são dadas pelo vetor oposto de
. Mas precisamos que esses vetores sejam unitários, ou seja, tenham comprimento 1. Para isso, vamos normalizar o gradiente.
A norma do gradiente é:
Então, o vetor unitário na direção do aumento é:
E o vetor unitário na direção da diminuição é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas direcionais nessas direções. A derivada direcional na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente com
:
Para a direção de aumento:
E para a direção de diminuição:
Resposta
As direções onde
aumenta e diminui mais rapidamente no ponto
s��o, respectivamente, o vetor unitário na direção do gradiente
e seu oposto. As derivadas direcionais nessas direções são
para aumento e
para diminuição.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
Determine a deriva das seguintes funções vetoriais:
.
Seja
. Encontre as direções
(com
unitário) e os valores
para os quais: