Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto P. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
f(x, y) = x^2 + x*y + y^2
P = (1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função e quer descobrir nas direções (como vetores unitários) onde essa função aumenta e diminui mais rápido no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos mostrar a direção de maior aumento da função, e o negativo do gradiente, a direção de maior diminuição. Vamos precisar calcular o gradiente da função e depois normalizá-lo para obter vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é o vetor .

Passo 4

A direção em que a função aumenta mais rapidamente é na direção do gradiente . Mas queremos um vetor unitário, então vamos normalizar . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de é:
Então, o vetor unitário na direção de aumento mais rápido é:

Passo 5

A direção em que a função diminui mais rapidamente é na direção oposta ao gradiente, ou seja, . Vamos também normalizar esse vetor:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas direcionais nas direções encontradas. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Onde representa o produto escalar.
Primeiro, na direção de aumento:
Segundo, na direção de diminuição:

Resposta

As direções nas quais a função aumenta e diminui mais rapidamente no ponto são, respectivamente, os vetores unitários:
As derivadas direcionais nessas direções são:

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