Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função
e quer descobrir nas direções (como vetores unitários) onde essa função aumenta e diminui mais rápido no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função. O gradiente vai nos mostrar a direção de maior aumento da função, e o negativo do gradiente, a direção de maior diminuição. Vamos precisar calcular o gradiente da função e depois normalizá-lo para obter vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é o vetor
.
Passo 4
A direção em que a função aumenta mais rapidamente é na direção do gradiente
. Mas queremos um vetor unitário, então vamos normalizar
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
A magnitude de
é:
Então, o vetor unitário na direção de aumento mais rápido é:
Passo 5
A direção em que a função diminui mais rapidamente é na direção oposta ao gradiente, ou seja,
. Vamos também normalizar esse vetor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas direcionais nas direções encontradas. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Onde
representa o produto escalar.
Primeiro, na direção de aumento:
Segundo, na direção de diminuição:
Resposta
As direções nas quais a função
aumenta e diminui mais rapidamente no ponto
são, respectivamente, os vetores unitários:
As derivadas direcionais nessas direções são:
Exercícios relacionados
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4) .
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4)
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Sejam
e
. Calcule
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.