Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais: e , além de uma função escalar . A tarefa é calcular o limite quando se aproxima de 0 do produto escalar dessas duas funções vetoriais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de vetores e como aplicar limites nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é calculado assim:
Esse resultado é um número real, não um vetor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às funções vetoriais e :
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 0:
Podemos separar o limite em duas partes:
Calculando cada limite:
Somando os resultados:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
.
Calcule os seguinte limites:
.
Verifique se a função

é contínua em .
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em .