Dadas as funções vetoriais F(t)=lang<= 2 t, t, 1rang<= e G(t)=lang<= 0,3, raizt e a função escalar h(t)=5 t, calcule:
lim t 0[F(t) cdot G(t)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais: limt 0 [F(t) cdot G(t)] e , além de uma função escalar . A tarefa é calcular o limite quando se aproxima de 0 do produto escalar dessas duas funções vetoriais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de vetores e como aplicar limites nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e , o produto escalar é calculado assim:
Esse resultado é um número real, não um vetor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às funções vetoriais F(t) cdot G(t) = (2t)(0) + (t)(3) + (1)(raizt) e F(t) cdot G(t) = 0 + 3t + raizt = 3t + raizt :
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limt 0 [3t + raizt] se aproxima de 0:
limt 0 3t + limt 0 raizt
Podemos separar o limite em duas partes:
0 + 0 = 0
Calculando cada limite:
Somando os resultados:

Resposta

O limite é .

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