Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais:
e
, além de uma função escalar
. A tarefa é calcular o limite quando
se aproxima de 0 do produto escalar dessas duas funções vetoriais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de vetores e como aplicar limites nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar de dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar
é calculado assim:
Esse resultado é um número real, não um vetor.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às funções vetoriais
e
:
Vamos simplificar cada termo:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Podemos separar o limite em duas partes:
Calculando cada limite:
Somando os resultados:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial
.
.
Calcule os seguinte limites:
.
Verifique se a função
é contínua em .
é contínua em
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em
.