A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em qualquer instante de tempo
é dada pelas funções:
O que precisamos fazer aqui é encontrar os vetores de velocidade e aceleração, além das velocidades e acelerações escalares no instante
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição
da partícula, que combina as funções
,
e
:
Este vetor nos dá a localização da partícula no espaço em qualquer instante
.
Passo 3
Agora, para achar o vetor velocidade
, que indica a rapidez e direção com que a partícula está se movendo, precisamos derivar cada componente de
em relação ao tempo
:
Vamos calcular cada derivada:
-
, -
, -
.
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor aceleração
, que mostra como a velocidade da partícula está mudando ao longo do tempo. Para isso, derivamos o vetor velocidade
em relação ao tempo
:
Calculando cada derivada:
-
, -
, -
.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade escalar no instante
. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade, ou seja:
Substituindo
na expressão de
:
Calculando a magnitude:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a aceleração escalar no instante
. A aceleração escalar é a magnitude do vetor aceleração:
Substituindo
na expressão de
:
Calculando a magnitude:
Resposta
No instante
, temos:
- Vetor velocidade:
. - Vetor aceleração:
. - Velocidade escalar:
. - Aceleração escalar:
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é contínua em .
é contínua em
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
Use os limites
e
para esboçar seu gráfico.