A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em qualquer instante de tempo é dada pelas funções:
O que precisamos fazer aqui é encontrar os vetores de velocidade e aceleração, além das velocidades e acelerações escalares no instante . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula, que combina as funções , e :
Este vetor nos dá a localização da partícula no espaço em qualquer instante .

Passo 3

Agora, para achar o vetor velocidade , que indica a rapidez e direção com que a partícula está se movendo, precisamos derivar cada componente de em relação ao tempo :
Vamos calcular cada derivada:
  • ,
  • ,
  • .
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor aceleração , que mostra como a velocidade da partícula está mudando ao longo do tempo. Para isso, derivamos o vetor velocidade em relação ao tempo :
Calculando cada derivada:
  • ,
  • ,
  • .
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade escalar no instante . A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade, ou seja:
Substituindo na expressão de :
Calculando a magnitude:

Passo 6

Por fim, vamos determinar a aceleração escalar no instante . A aceleração escalar é a magnitude do vetor aceleração:
Substituindo na expressão de :
Calculando a magnitude:

Resposta

No instante , temos:
  • Vetor velocidade: .
  • Vetor aceleração: .
  • Velocidade escalar: .
  • Aceleração escalar: .

Exercícios relacionados

Verifique se a função

é contínua em .
Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
Use os limites e para esboçar seu gráfico.