A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante t ≥ 0, é dada por
x(t)=2t ; y(t)=3 ; z(t)=4-t^2 .
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em qualquer instante de tempo t ≥ 0 é dada pelas funções:
O que precisamos fazer aqui é encontrar os vetores de velocidade e aceleração, além das velocidades e acelerações escalares no instante . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição vec(r)(t) da partícula, que combina as funções x(t), y(t) e z(t):
Este vetor nos dá a localização da partícula no espaço em qualquer instante t.

Passo 3

Agora, para achar o vetor velocidade vec(v)(t), que indica a rapidez e direção com que a partícula está se movendo, precisamos derivar cada componente de vec(r)(t) em relação ao tempo t:
Vamos calcular cada derivada:
  • ,
  • ,
  • .
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor aceleração a(t), que mostra como a velocidade da partícula está mudando ao longo do tempo. Para isso, derivamos o vetor velocidade vec(v)(t) em relação ao tempo t:
Calculando cada derivada:
  • ,
  • ,
  • .
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade escalar no instante . A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade, ou seja:
Substituindo na expressão de vec(v)(t):
Calculando a magnitude:

Passo 6

Por fim, vamos determinar a aceleração escalar no instante . A aceleração escalar é a magnitude do vetor aceleração:
Substituindo na expressão de a(t):
Calculando a magnitude:

Resposta

No instante , temos:
  • Vetor velocidade: .
  • Vetor aceleração: .
  • Velocidade escalar: .
  • Aceleração escalar: .

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