Verifique se a função

é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é contínua em . Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções, que faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de Limites. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, precisamos verificar essas três condições para .

Passo 3

Vamos começar verificando se está definida. Olhando a definição da função:
Vemos que para , . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Ou seja, queremos encontrar:
Podemos separar esse limite em duas partes:
Sabemos que e . Portanto:

Passo 5

Por último, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em :
Claramente, .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 0 é diferente de , a função não é contínua em .

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Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
Faça um esboço da curva dada pela função vetorial .
.
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante , é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em .
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.