Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede pra gente verificar se a função
tem pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação pra expressar
em função de
. A equação original é:
Vamos isolar o
:
Agora temos
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos achar a primeira derivada de
e ver onde ela é igual a zero. A primeira derivada nos dá a inclinação da função.
A primeira derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero para identificar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função está para cima ou para baixo.
A segunda derivada de
é:
Passo 6
Como a segunda derivada é negativa (
), isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja,
é um ponto de máximo.
Passo 7
Agora, vamos verificar se existe ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, a concavidade da função muda.
No nosso caso, a segunda derivada é constante e igual a -2, então ela nunca muda de sinal. Portanto, não existe ponto de inflexão.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo em
. Não há pontos de mínimo nem pontos de inflexão nessa função.
Exercícios relacionados
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
c)
c)
Dadas as funçöes
definidas implicitamente, encontrei
.
a)
a)
Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja
o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
a) y em termos de ;
a) y em termos de
Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja
o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
b) a área do campo em termos de
;
b) a área