Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
g)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede pra gente verificar se a função tem pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. Vamos usar cálculo, mais especificamente derivadas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação pra expressar em função de . A equação original é:
Vamos isolar o :
Agora temos .

Passo 3

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos achar a primeira derivada de e ver onde ela é igual a zero. A primeira derivada nos dá a inclinação da função.
A primeira derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero para identificar os pontos críticos:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função está para cima ou para baixo.
A segunda derivada de é:

Passo 6

Como a segunda derivada é negativa ( ), isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo.

Passo 7

Agora, vamos verificar se existe ponto de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, a concavidade da função muda.
No nosso caso, a segunda derivada é constante e igual a -2, então ela nunca muda de sinal. Portanto, não existe ponto de inflexão.

Resposta

A função possui um ponto de máximo em . Não há pontos de mínimo nem pontos de inflexão nessa função.

Exercícios relacionados

Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
c)
Dadas as funçöes definidas implicitamente, encontrei .
a)
Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
a) y em termos de ;
Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
b) a área do campo em termos de ;