Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se ela tem máximo, mínimo e ponto de inflexão. Isso tá dentro de Cálculo, especificamente quando estudamos derivadas para analisar o comportamento de funções. Vamos usar as derivadas primeira e segunda para descobrir essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar a derivada segunda. A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
Como , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe algum ponto de inflexão. Pontos de inflexão acontecem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Mas, aqui, é sempre positiva e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão nessa função.

Resposta

A função possui um mínimo no ponto , não possui máximo e não possui pontos de inflexão.

Exercícios relacionados

Dadas as funçöes definidas implicitamente, encontrei .
a)
Calcule a derivada de cada função utilizando a técnica adequada.
(l)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
g)
Um campo retangular deve ser cercado com 500 m de cerca ao longo de três lados e tem um rio reto como a figura ao lado. Seja o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento de cada lado paralelo ao rio. Determine:
a) y em termos de ;