Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa verificar se ela tem máximo, mínimo e ponto de inflexão. Isso tá dentro de Cálculo, especificamente quando estudamos derivadas para analisar o comportamento de funções. Vamos usar as derivadas primeira e segunda para descobrir essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar a derivada segunda. A derivada segunda nos diz sobre a concavidade da função:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe algum ponto de inflexão. Pontos de inflexão acontecem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Mas, aqui,
é sempre positiva e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão nessa função.
Resposta
A função
possui um mínimo no ponto
, não possui máximo e não possui pontos de inflexão.