Dadas as matrizes A e B abaixo, determine os produtos A B e B A :
A=[ll 2 & 1 1 & 0 0 & 1 ], B=[lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular os produtos das matrizes e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de matrizes. Precisamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Além disso, cada elemento do produto é obtido multiplicando-se as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A times B = [ll 2 & 1 1 & 0 0 & 1 ] times [lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ] .
As dimensões das matrizes são:
  • cij = (Ai1 times B1j) + (Ai2 times B2j) é uma matriz c11 = (2 times 1) + (1 times 0) = 2 + 0 = 2 (3 linhas e 2 colunas).
  • c12 = (2 times 0) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1 é uma matriz c13 = (2 times 1) + (1 times 1) = 2 + 1 = 3 (2 linhas e 3 colunas).
Como o número de colunas de c21 = (1 times 1) + (0 times 0) = 1 + 0 = 1 (2) é igual ao número de linhas de c22 = (1 times 0) + (0 times 1) = 0 + 0 = 0 (2), podemos multiplicá-las. O resultado será uma matriz c23 = (1 times 1) + (0 times 1) = 1 + 0 = 1 .
Vamos montar o produto c31 = (0 times 1) + (1 times 0) = 0 + 0 = 0 :
c32 = (0 times 0) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1
Para cada elemento c33 = (0 times 1) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1 da matriz resultante, multiplicamos a A times B = [lll 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ] -ésima linha de pela -ésima coluna de e somamos os produtos:
Vamos calcular cada elemento:
  1. Elemento (1,1):
  1. Elemento (1,2):
  1. Elemento (1,3):
  1. Elemento (2,1):
  1. Elemento (2,2):
  1. Elemento (2,3):
  1. Elemento (3,1):
  1. Elemento (3,2):
  1. Elemento (3,3):
Portanto, o produto é:

Passo 3

Agora, vamos calcular B times A = [lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ] times [ll 2 & 1 1 & 0 0 & 1 ] .
As dimensões das matrizes são:
  • dij = (Bi1 times A1j) + (Bi2 times A2j) + (Bi3 times A3j) é uma matriz d11 = (1 times 2) + (0 times 1) + (1 times 0) = 2 + 0 + 0 = 2 (2 linhas e 3 colunas).
  • d12 = (1 times 1) + (0 times 0) + (1 times 1) = 1 + 0 + 1 = 2 é uma matriz d21 = (0 times 2) + (1 times 1) + (1 times 0) = 0 + 1 + 0 = 1 (3 linhas e 2 colunas).
Como o número de colunas de d22 = (0 times 1) + (1 times 0) + (1 times 1) = 0 + 0 + 1 = 1 (3) é igual ao número de linhas de B times A = [ll 2 & 2 1 & 1 ] (3), podemos multiplicá-las. O resultado será uma matriz .
Vamos montar o produto :
Novamente, para cada elemento da matriz resultante, multiplicamos a -ésima linha de pela -ésima coluna de e somamos os produtos:
Vamos calcular cada elemento:
  1. Elemento (1,1):
  1. Elemento (1,2):
  1. Elemento (2,1):
  1. Elemento (2,2):
Portanto, o produto é:

Resposta

Os produtos das matrizes são:
A times B = [lll 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 ]
e
B times A = [ll 2 & 2 1 & 1 ]

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