Determine se é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Pra resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Isso significa que, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , deve valer:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos verificar a aditividade primeiro. Suponha que temos dois vetores e . Então:
Por outro lado:
Claramente, não é igual a , então a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de aditividade já não foi atendida, não precisamos verificar a homogeneidade. Basta que uma das propriedades falhe para concluir que a transformação não é linear.

Resposta

Não, a transformação não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes e abaixo, determine os produtos e :
Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Dada uma transformação linear
( ) Se é tal , então .
( ) Se , então .
( ) Se é combinação linear de , então é combinação linear de .
Suponha que temos um sistema de duas equações em duas variáveis.
O que você pode dizer sobre o conjunto solução deste sistema?
Seja .
Mostre que é transformação linear.