Determine se é transformação linear. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a transformação , definida por , é uma transformação linear. Pra resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Isso significa que, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , deve valer:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos verificar a aditividade primeiro. Suponha que temos dois vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, 2^y1 + y2, 2^z1 + z2) e T(u) + T(v) = (x1, 2^y1, 2^z1) + (x2, 2^y2, 2^z2) = (x1 + x2, 2^y1 + 2^y2, 2^z1 + 2^z2) . Então:
Por outro lado:
Claramente, não é igual a , então a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de aditividade já não foi atendida, não precisamos verificar a homogeneidade. Basta que uma das propriedades falhe para concluir que a transformação não é linear.

Resposta

Não, a transformação não é uma transformação linear.

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