Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Dada uma transformação linear
( ) Se é tal , então .
( ) Se , então .
( ) Se é combinação linear de , então é combinação linear de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que é um assunto da álgebra linear. A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear, suas propriedades básicas e como elas interagem com combinações lineares. Basicamente, vamos analisar três afirmações sobre uma transformação linear e decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.

Passo 2

Primeira afirmação:
Se é tal que , então .
Vamos entender isso.
Uma transformação linear tem a propriedade de que . A pergunta é se o contrário também é verdadeiro: se , então necessariamente .
Essa propriedade é chamada de injetividade. Se uma transformação linear é injetora, isso significa que ela “não dobra” nenhum vetor diferente de zero para zero. Porém, sem saber se é injetora, não podemos garantir que essa afirmação seja sempre verdadeira.
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que é injetora.

Passo 3

Segunda afirmação:
Se , então .
Vamos analisar isso.
Sabemos que é linear, então sempre vale que . Mas a afirmação está dizendo o contrário: se , então tem que ser .
Para isso ser sempre verdadeiro, precisaria ser injetora. Sem essa garantia, pode existir mais de um vetor que mapeia para .
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que é injetora.

Passo 4

Terceira afirmação:
Se é combinação linear de , então é combinação linear de .
Vamos detalhar isso.
Se é uma combinação linear de , significa que existe uma sequência de escalares tais que:
Aplicando a transformação linear em ambos os lados:
Como é linear, podemos distribuir:
Isso mostra que é, de fato, uma combinação linear dos vetores .
Conclusão: A afirmação é verdadeira.

Resposta

A primeira e a segunda afirmações são falsas, e a terceira é verdadeira.

Exercícios relacionados

Sejam
(e)
Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução.
Dadas as matrizes e abaixo, determine os produtos e :
Determine se é transformação linear.