Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Dada uma transformação linear
( ) Se é tal , então .
( ) Se , então .
( ) Se é combinação linear de , então é combinação linear de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que é um assunto da álgebra linear. A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear, suas propriedades básicas e como elas interagem com combinações lineares. Basicamente, vamos analisar três afirmações sobre uma transformação linear e decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
Passo 2
Primeira afirmação:
Se é tal que , então .
Vamos entender isso.
Uma transformação linear tem a propriedade de que . A pergunta é se o contrário também é verdadeiro: se , então necessariamente .
Essa propriedade é chamada de injetividade. Se uma transformação linear é injetora, isso significa que ela “não dobra” nenhum vetor diferente de zero para zero. Porém, sem saber se é injetora, não podemos garantir que essa afirmação seja sempre verdadeira.
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que é injetora.
Passo 3
Segunda afirmação:
Se , então .
Vamos analisar isso.
Sabemos que é linear, então sempre vale que . Mas a afirmação está dizendo o contrário: se , então tem que ser .
Para isso ser sempre verdadeiro, precisaria ser injetora. Sem essa garantia, pode existir mais de um vetor que mapeia para .
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que é injetora.
Passo 4
Terceira afirmação:
Se é combinação linear de , então é combinação linear de .
Vamos detalhar isso.
Se é uma combinação linear de , significa que existe uma sequência de escalares tais que:
Aplicando a transformação linear em ambos os lados:
Como é linear, podemos distribuir:
Isso mostra que é, de fato, uma combinação linear dos vetores .
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Resposta
A primeira e a segunda afirmações são falsas, e a terceira é verdadeira.