Diga se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Dada
uma transformação linear
( ) Se
é tal
, então
.
( ) Se
, então
.
( ) Se
é combinação linear de
, então
é combinação linear de
.
Dada
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformações lineares, que é um assunto da álgebra linear. A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear, suas propriedades básicas e como elas interagem com combinações lineares. Basicamente, vamos analisar três afirmações sobre uma transformação linear
e decidir se são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
Passo 2
Primeira afirmação:
Vamos entender isso.
Uma transformação linear
tem a propriedade de que
. A pergunta é se o contrário também é verdadeiro: se
, então necessariamente
.
Essa propriedade é chamada de injetividade. Se uma transformação linear é injetora, isso significa que ela “não dobra” nenhum vetor diferente de zero para zero. Porém, sem saber se
é injetora, não podemos garantir que essa afirmação seja sempre verdadeira.
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que
é injetora.
Passo 3
Segunda afirmação:
Vamos analisar isso.
Sabemos que
é linear, então sempre vale que
. Mas a afirmação está dizendo o contrário: se
, então
tem que ser
.
Para isso ser sempre verdadeiro,
precisaria ser injetora. Sem essa garantia, pode existir mais de um vetor
que mapeia para
.
Conclusão: A afirmação é falsa em geral. Só seria verdadeira se soubéssemos que
é injetora.
Passo 4
Terceira afirmação:
Vamos detalhar isso.
Se
é uma combinação linear de
, significa que existe uma sequência de escalares
tais que:
Aplicando a transformação linear
em ambos os lados:
Como
é linear, podemos distribuir:
Isso mostra que
é, de fato, uma combinação linear dos vetores
.
Conclusão: A afirmação é verdadeira.
Resposta
A primeira e a segunda afirmações são falsas, e a terceira é verdadeira.