Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
f) Usando o método da potência, calcule o autovalor de B que está mais próximo de 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e . Na parte f), precisamos usar o método da potência para encontrar o autovalor da matriz que está mais próximo de 5. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre autovalores, matrizes e o próprio método da potência.

Passo 2

Vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada Bv = lambda v , um número é chamado de autovalor se existe um vetor não nulo tal que:
Aqui, é o autovetor correspondente ao autovalor .

Passo 3

O método da potência é uma técnica iterativa usada para encontrar o autovalor dominante de uma matriz, ou seja, o autovalor com o maior valor absoluto. No entanto, como queremos encontrar o autovalor mais próximo de 5, vamos usar uma variação chamada método da potência deslocada.

Passo 4

No método da potência deslocada, escolhemos um deslocamento B' = B - sigma I que nos ajude a focar no autovalor de interesse. Nesse caso, como queremos o autovalor mais próximo de 5, vamos escolher . Definimos então uma nova matriz:
onde é a matriz identidade.

Passo 5

Vamos calcular a matriz deslocada B' = -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 - 5 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -8 & 1 & 0 1 & -9 & 2 0 & 2 & -3 :

Passo 6

Escolhemos um vetor inicial para começar as iterações. Vamos usar:
x0 = 1 1 1
Esse vetor pode ser qualquer vetor não nulo, mas geralmente escolhemos componentes iguais para simplificar.

Passo 7

Aplicamos a matriz deslocada ao vetor inicial:
x1 = B' x0 = -8 & 1 & 0 1 & -9 & 2 0 & 2 & -3 1 1 1 = -8(1) + 1(1) + 0(1) 1(1) + (-9)(1) + 2(1) 0(1) + 2(1) + (-3)(1) = -7 -6 -1

Passo 8

Normalizamos o novo vetor para que sua magnitude seja 1:
x1' = x1|x1| = 1raiz(-7)^2 + (-6)^2 + (-1)^2 -7 -6 -1 = 1raiz86 -7 -6 -1

Passo 9

Repetimos o processo usando x2 = B' x1' e assim por diante como o novo vetor:
Continuamos iterando até que a direção do vetor não mude significativamente, indicando que estamos próximos do autovetor correspondente ao autovalor que buscamos.

Passo 10

Após várias iterações, obtemos uma aproximação para o autovalor deslocado lambda = lambda' + sigma . Lembrando que:
Então, adicionamos o deslocamento para encontrar o autovalor original de .

Resposta

Após aplicar o método da potência deslocada e realizar as iterações necessárias, o autovalor de que está mais próximo de 5 é aproximadamente 5.

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Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x +infty(x^3-x^2-x+1)
Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
c) Dado o autopar do item (b), encontre, usando a idéia da deflação, uma matriz de Householder H tal que H A H tenha os mesmos autovalores de A e que sua primeira coluna seja igual a lambda1.
Usando o método Q R, no MATLAB, encontre os autovalores da matriz A abaixo.
A = [[5, -2, 3], [-2, 2, 1], [3, 1, -4]]
Seja f(x, y)=lx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) ; 0 , se (x, y)=(0,0)
a. Mostre que f é contínua em (0,0).
b. Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
c. f é diferenciável em (0,0) ?
d. partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?