f) Usando o método da potência, calcule o autovalor de B que está mais próximo de 5 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e . Na parte f), precisamos usar o método da potência para encontrar o autovalor da matriz que está mais próximo de 5. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre autovalores, matrizes e o próprio método da potência.
Passo 2
Vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada Bv = lambda v , um número é chamado de autovalor se existe um vetor não nulo tal que:
Aqui, é o autovetor correspondente ao autovalor .
Passo 3
O método da potência é uma técnica iterativa usada para encontrar o autovalor dominante de uma matriz, ou seja, o autovalor com o maior valor absoluto. No entanto, como queremos encontrar o autovalor mais próximo de 5, vamos usar uma variação chamada método da potência deslocada.
Passo 4
No método da potência deslocada, escolhemos um deslocamento B' = B - sigma I que nos ajude a focar no autovalor de interesse. Nesse caso, como queremos o autovalor mais próximo de 5, vamos escolher . Definimos então uma nova matriz:
Repetimos o processo usando x2 = B' x1' e assim por diante como o novo vetor:
Continuamos iterando até que a direção do vetor não mude significativamente, indicando que estamos próximos do autovetor correspondente ao autovalor que buscamos.
Passo 10
Após várias iterações, obtemos uma aproximação para o autovalor deslocado lambda = lambda' + sigma . Lembrando que:
Então, adicionamos o deslocamento para encontrar o autovalor original de .
Resposta
Após aplicar o método da potência deslocada e realizar as iterações necessárias, o autovalor de que está mais próximo de 5 é aproximadamente 5.