Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
b) Dado o autovetor v=[lll0.7071 & -0.7071 & 0]^T de A, calcule o autovalor correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e um vetor que é um autovetor dessa matriz. Nosso objetivo aqui é encontrar o autovalor que corresponde a esse autovetor. Basicamente, a gente vai usar a relação entre a matriz, o autovetor e o autovalor para descobrir qual é esse .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa A cdot v = lambda cdot v ser um autovetor de . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz pelo vetor , o resultado é igual ao vetor multiplicado por um escalar . A equação fica assim:

Passo 3

Vamos então escrever a matriz A = -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 , v = 0.7071 -0.7071 0 e o vetor :

Passo 4

Agora, vamos fazer a multiplicação da matriz A cdot v = -3 cdot 0.7071 + 2 cdot (-0.7071) + 4 cdot 0 1 cdot 0.7071 + (-4) cdot (-0.7071) + (-1) cdot 0 1 cdot 0.7071 + 1 cdot (-0.7071) + (-6) cdot 0 pelo vetor :

Passo 5

Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira linha:
-3 times 0.7071 = -2.1213
2 times (-0.7071) = -1.4142
-2.1213 + (-1.4142) + 0 = -3.5355
  1. Segunda linha:
1 times 0.7071 = 0.7071
-4 times (-0.7071) = 2.8284
0.7071 + 2.8284 + 0 = 3.5355
  1. Terceira linha:
1 times 0.7071 = 0.7071
1 times (-0.7071) = -0.7071
0.7071 + (-0.7071) + 0 = 0
Então, temos:
A cdot v = -3.5355 3.5355 0

Passo 6

Agora, lembrando que -3.5355 3.5355 0 = lambda cdot 0.7071 -0.7071 0 , vamos escrever isso:
Isso significa que cada componente do lado esquerdo é igual à multiplicada pela componente correspondente de .

Passo 7

Vamos montar as equações para encontrar lambda = -3.53550.7071 = -5 :
  1. 3.5355 = lambda times (-0.7071)
  2. lambda = 3.5355-0.7071 = -5
  3. (Essa equação não nos dá informação adicional, já que é sempre verdadeiro)
Vamos resolver a primeira equação para :
Vamos ver se essa solução satisfaz a segunda equação:

Resposta

O autovalor correspondente ao autovetor é .

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A=[ccc 5 & 3 & 1 -1 & -1 & 0 2 & 0 & -3 ] e B=[ccc 5 & 2 & 0 2 & -1 & 1 0 & 1 & -6 ]
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