Para as matrizes abaixo, use o teorema dos círculos de Gerschgorin para encontrar discos no plano complexo que contenham os autovalores de A e de B. Quais regiões contêm autovalores complexos e quais contêm apenas autovalores reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema dos Círculos de Gerschgorin para encontrar discos no plano complexo que contenham os autovalores das matrizes A e B. Esse teorema ajuda a localizar onde os autovalores de uma matriz podem estar, usando informação das próprias matrizes. Pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema, calcular os centros e raios dos círculos para cada matriz, e depois determinar se os autovalores dentro desses círculos são reais ou podem ser complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema dos Círculos de Gerschgorin. Ele diz que cada autovalor de uma matriz está dentro pelo menos de um dos círculos de Gerschgorin no plano complexo. Para cada linha da matriz, o centro do círculo é o valor da diagonal principal, e o raio é a soma dos valores absolutos dos demais elementos dessa linha.
Matematicamente, para uma matriz |z - Mii| <= sumj neq i |Mij| , cada círculo é dado por:
onde é o elemento da diagonal principal na linha , e são os outros elementos da mesma linha.
Passo 3
Vamos começar com a matriz A:
A=[ccc 5 & 3 & 1 -1 & -1 & 0 2 & 0 & -3 ]
Para cada linha, vamos identificar o centro e o raio do círculo de Gerschgorin.
Linha 1:
Centro:
Raio:
Então, o círculo é
Linha 2:
Centro:
Raio:
Círculo:
Linha 3:
Centro:
Raio:
Círculo:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz B:
B=[ccc 5 & 2 & 0 2 & -1 & 1 0 & 1 & -6 ]
Linha 1:
Centro:
Raio:
Círculo:
Linha 2:
Centro:
Raio:
Círculo:
Linha 3:
Centro:
Raio:
Círculo:
Passo 5
Agora que temos os círculos de Gerschgorin para ambas as matrizes, vamos analisar as regiões onde os autovalores podem estar.
Para A:
: Círculo centrado em 5 com raio 4, cobre de 1 a 9 no eixo real.
: Centro em -1, raio 1, cobre de -2 a 0.
: Centro em -3, raio 2, cobre de -5 a -1.
Para B:
: Centro em 5, raio 2, cobre de 3 a 7.
: Centro em -1, raio 3, cobre de -4 a 2.
: Centro em -6, raio 1, cobre de -7 a -5.
Passo 6
Vamos agora determinar se essas regiões podem conter autovalores complexos ou apenas reais.
O Teorema dos Círculos de Gerschgorin nos dá regiões no plano complexo onde os autovalores podem estar, mas não especifica se são reais ou complexos. No entanto, se os círculos se sobrepõem, pode haver a possibilidade de autovalores complexos. No nosso caso:
Para A, os círculos se sobrepõem:
O círculo de 5 a 9 e o de -2 a 0 não se tocam.
O círculo de -2 a 0 e o de -5 a -1 se sobrepõem entre -2 e -1.
Isso sugere que alguns autovalores podem ser reais e outros possivelmente complexos dentro dessas regiões sobrepostas.
Para B, os círculos também se sobrepõem:
O círculo de 5 a 7 e o de 3 a 7 se sobrepõem completamente.
O círculo de -4 a 2 e o de -7 a -5 não se tocam.
Assim, para a matriz B, os autovalores na região dos círculos que se sobrepõem (de 3 a 7) podem ser reais, enquanto os outros círculos que não se sobrepõem indicam autovalores reais isolados.
Resposta
Usando o Teorema dos Círculos de Gerschgorin:
Matriz A:
Círculos: , ,
Autovalores: Podem estar em regiões que incluem valores reais e possivelmente complexos devido à sobreposição dos círculos.
Matriz B:
Círculos: , ,
Autovalores: Estão em regiões que contêm apenas valores reais, já que os círculos não se sobrepõem de forma a indicar complexos.