Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloque de modo que a sua distância ao ponto
é igual à sua distância à reta
. Em seguida determine uma equação desse lugar geométrico.
parábola,
parábola,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar o lugar geométrico de um ponto que está sempre à mesma distância de um ponto específico
e de uma reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre pontos e a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz) forma uma parábola. Então, nosso foco é
e a diretriz é a reta
.
Passo 3
Vamos chamar um ponto qualquer no lugar geométrico de
. A condição dada é que a distância de
até
seja igual à distância de
até a reta
.
Passo 4
Vamos calcular a distância de
até
. A fórmula da distância entre dois pontos é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância de
até a reta
. A fórmula da distância de um ponto
até uma reta
é:
No nosso caso, a reta é
, então
,
, e
. Portanto:
Passo 6
Agora, igualamos as duas distâncias conforme a condição do problema:
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Vamos isolar os termos com
e rearranjar:
Passo 9
Para deixar a equação na forma padrão da parábola, completamos o quadrado para os termos de
:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
.