Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloque de modo que a sua distância ao ponto P(-2,3) é igual à sua distância à reta r: x+6=0. Em seguida determine uma equação desse lugar geométrico.
parábola, (y-3)^2=8(x+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar o lugar geométrico de um ponto que está sempre à mesma distância de um ponto específico e de uma reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre pontos e a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lugar geométrico de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz) forma uma parábola. Então, nosso foco é e a diretriz é a reta .

Passo 3

Vamos chamar um ponto qualquer no lugar geométrico de . A condição dada é que a distância de até seja igual à distância de até a reta .

Passo 4

Vamos calcular a distância de Distância = raiz(x - xP)^2 + (y - yP)^2 até raiz(x + 2)^2 + (y - 3)^2 . A fórmula da distância entre dois pontos é:
â
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância de Distância = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 até a reta |x + 6|raiz1^2 + 0^2 = |x + 6| . A fórmula da distância de um ponto até uma reta é:
â
No nosso caso, a reta é , então , , e . Portanto:

Passo 6

Agora, igualamos as duas distâncias conforme a condição do problema:
raiz(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = |x + 6|
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x + 6)^2

Passo 7

Vamos expandir os termos:
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = x^2 + 12x + 36
Somando os termos semelhantes:
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 12x + 36
Simplificando:
4x + y^2 - 6y + 13 = 12x + 36

Passo 8

Vamos isolar os termos com y^2 - 6y + 13 - 36 = 12x - 4x e rearranjar:
y^2 - 6y - 23 = 8x

Passo 9

Para deixar a equação na forma padrão da parábola, completamos o quadrado para os termos de y^2 - 6y = 8x + 23 :
y^2 - 6y + 9 = 8x + 23 + 9
(y - 3)^2 = 8x + 32
(y - 3)^2 = 8(x + 4)

Resposta

A equação do lugar geométrico é .

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