Dadas as matrizes A=(ccc2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4), B=(lll1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2) e C=(cc3 & 5 7 & 10), calcule:
(a) A^-1, B^-1, C^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular as inversas das matrizes , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de matrizes inversas. Para resolver, a gente vai precisar conhecer como encontrar o determinante de uma matriz e utilizar a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz A = 2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4 . A matriz é uma matriz :
Para encontrar , precisamos calcular o determinante de e a matriz adjunta de .

Passo 3

Calculando o determinante de det(A) = 2 cdot (3 cdot 4 - (-1) cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 4 - (-1) cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - 3 cdot 1) ( det(A) = 2 cdot (12 + 1) - 1 cdot (0 + 1) + 0 cdot (0 - 3) ):
det(A) = 2 cdot 13 - 1 cdot 1 + 0
det(A) = 26 - 1 = 25

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cofator11 = (3 cdot 4 - (-1) cdot 1) = 12 + 1 = 13 . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento:
Cofator12 = - (0 cdot 4 - (-1) cdot 1) = - (0 + 1) = -1
Cofator13 = (0 cdot 1 - 3 cdot 1) = 0 - 3 = -3
Cofator21 = - (1 cdot 4 - 0 cdot 1) = - (4 - 0) = -4
Cofator22 = (2 cdot 4 - 0 cdot 1) = 8 - 0 = 8
Cofator23 = - (2 cdot 1 - 0 cdot 1) = - (2 - 0) = -2
Cofator31 = (1 cdot (-1) - 3 cdot 1) = -1 - 3 = -4
Cofator32 = - (2 cdot (-1) - 0 cdot 1) = - (-2 - 0) = 2
Cofator33 = (2 cdot 3 - 0 cdot 1) = 6 - 0 = 6
Cof(A) = 13 & -1 & -3 -4 & 8 & -2 -4 & 2 & 6
Então, a matriz dos cofatores de é:

Passo 5

Agora, tiramos a adjunta de Adj(A) = Cof(A)^T = 13 & -4 & -4 -1 & 8 & 2 -3 & -2 & 6 , que é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 6

Finalmente, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é dada por:
A^-1 = 125 cdot 13 & -4 & -4 -1 & 8 & 2 -3 & -2 & 6
A^-1 = 1325 & -425 & -425 -125 & 825 & 225 -325 & -225 & 625

Passo 7

Agora, vamos calcular a inversa da matriz B = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2 . A matriz também é :
Seguiremos os mesmos passos: calcular o determinante, a matriz de cofatores, a adjunta e então a inversa.

Passo 8

Calculando o determinante de det(B) = 1 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) ( det(B) = 1 cdot (4 - 0) - 1 cdot (0 - 2) + 0 ):
det(B) = 4 - (-2) = 6

Passo 9

Calculando os cofatores de Cofator11 = (2 cdot 2 - 2 cdot 0) = 4 - 0 = 4 :
Cofator12 = - (0 cdot 2 - 2 cdot 1) = - (0 - 2) = 2
Cofator13 = (0 cdot 0 - 2 cdot 1) = 0 - 2 = -2
Cofator21 = - (1 cdot 2 - 0 cdot 1) = - (2 - 0) = -2
Cofator22 = (1 cdot 2 - 0 cdot 1) = 2 - 0 = 2
Cofator23 = - (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = - (0 - 1) = 1
Cofator31 = (1 cdot 2 - 2 cdot 1) = 2 - 2 = 0
Cofator32 = - (1 cdot 2 - 0 cdot 1) = - (2 - 0) = -2
Cofator33 = (1 cdot 2 - 0 cdot 1) = 2 - 0 = 2
Cof(B) = 4 & 2 & -2 -2 & 2 & 1 0 & -2 & 2
A matriz dos cofatores de é:

Passo 10

Tirando a adjunta de Adj(B) = Cof(B)^T = 4 & -2 & 0 2 & 2 & -2 -2 & 1 & 2 :

Passo 11

A inversa de B^-1 = 1det(B) cdot Adj(B) é:
B^-1 = 16 cdot 4 & -2 & 0 2 & 2 & -2 -2 & 1 & 2
B^-1 = 46 & -26 & 0 26 & 26 & -26 -26 & 16 & 26
B^-1 = 23 & -13 & 0 13 & 13 & -13 -13 & 16 & 13

Passo 12

Agora, vamos calcular a inversa da matriz C = 3 & 5 7 & 10 . A matriz C^-1 = 1det(C) d & -b -c & a é uma matriz a & b c & d :
Para matrizes , a inversa é mais direta de calcular. A fórmula é:
onde .

Passo 13

Calculando o determinante de det(C) = 3 cdot 10 - 5 cdot 7 = 30 - 35 = -5 ( ):

Passo 14

Aplicando a fórmula para a inversa de C^-1 = 1-5 10 & -5 -7 & 3 :
C^-1 = -105 & 55 75 & -35
C^-1 = -2 & 1 75 & -35

Resposta

As inversas das matrizes são:
A^-1 = 1325 & -425 & -425 -125 & 825 & 225 -325 & -225 & 625 , B^-1 = 23 & -13 & 0 13 & 13 & -13 -13 & 16 & 13 , C^-1 = -2 & 1 75 & -35

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes A=(ll3 & 1 5 & 2) e B=(ll2 & 0 0 & 2), determine:
(a) A^-1.
Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(d) A=(lll1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1)
Calcule a e b de modo que B=(ll1 & b b & 1) seja a inversa da matriz A=(lla & 0 0 & a).
Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
pi1: x-y+4=0
e pi2: 2 x-y-z=0