Dadas as matrizes
e
C=(cc3 & 5 7 & 10) , calcule:
(a)
A^-1, B^-1, C^-1 .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular as inversas das matrizes
,
e
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no tópico de matrizes inversas. Para resolver, a gente vai precisar conhecer como encontrar o determinante de uma matriz e utilizar a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz
A = 2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4 . A matriz
é uma matriz
:
Para encontrar
, precisamos calcular o determinante de
e a matriz adjunta de
.
Passo 3
Calculando o determinante de
det(A) = 2 cdot (3 cdot 4 - (-1) cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 4 - (-1) cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - 3 cdot 1) (
det(A) = 2 cdot (12 + 1) - 1 cdot (0 + 1) + 0 cdot (0 - 3) ):
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de
Cofator11 = (3 cdot 4 - (-1) cdot 1) = 12 + 1 = 13 . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento:
Então, a matriz dos cofatores de
é:
Passo 5
Agora, tiramos a adjunta de
Adj(A) = Cof(A)^T = 13 & -4 & -4 -1 & 8 & 2 -3 & -2 & 6 , que é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 6
Finalmente, a inversa de
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é dada por:
Passo 7
Agora, vamos calcular a inversa da matriz
B = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2 . A matriz
também é
:
Seguiremos os mesmos passos: calcular o determinante, a matriz de cofatores, a adjunta e então a inversa.
Passo 8
Calculando o determinante de
det(B) = 1 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 2 - 2 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) (
det(B) = 1 cdot (4 - 0) - 1 cdot (0 - 2) + 0 ):
Passo 9
Calculando os cofatores de
Cofator11 = (2 cdot 2 - 2 cdot 0) = 4 - 0 = 4 :
A matriz dos cofatores de
é:
Passo 10
Tirando a adjunta de
Adj(B) = Cof(B)^T = 4 & -2 & 0 2 & 2 & -2 -2 & 1 & 2 :
Passo 11
A inversa de
B^-1 = 1det(B) cdot Adj(B) é:
Passo 12
Agora, vamos calcular a inversa da matriz
C = 3 & 5 7 & 10 . A matriz
C^-1 = 1det(C) d & -b -c & a é uma matriz
a & b c & d :
Para matrizes
, a inversa é mais direta de calcular. A fórmula é:
onde
.
Passo 13
Calculando o determinante de
det(C) = 3 cdot 10 - 5 cdot 7 = 30 - 35 = -5 (
):
Passo 14
Aplicando a fórmula para a inversa de
C^-1 = 1-5 10 & -5 -7 & 3 :
Resposta
As inversas das matrizes são:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
A=(ll3 & 1 5 & 2) e
B=(ll2 & 0 0 & 2) , determine:
(a)A^-1 .
(a)
Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(d)A=(lll1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1)
(d)
Calcule
a e
b de modo que
B=(ll1 & b b & 1) seja a inversa da matriz
A=(lla & 0 0 & a) .
Determinar
o ângulo entre os seguintes planos:
pi1: x-y+4=0
e pi2: 2 x-y-z=0
e