Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
pi1: x-y+4=0
e pi2: 2 x-y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois planos. Para isso, vamos usar um conteúdo de Geometria Analítica que trata dos vetores normais dos planos. Precisaremos identificar os vetores normais de cada plano e depois usar uma fórmula de produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação geral de um plano é n1 = (1, -1, 0) , onde o vetor normal é n2 = (2, -1, -1) .
Para o plano , o vetor normal é:
E para o plano , o vetor normal é:

Passo 3

Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
cos theta = n1 cdot n2 |n1| |n2|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(-1) = 2 + 1 + 0 = 3 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
|n2| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 6

Com esses valores, substituímos na fórmula do cosseno:
cos theta = 3raiz2 times raiz6 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32

Passo 7

Finalmente, para achar o ângulo theta = arccos(raiz32) = 30^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é de .

Exercícios relacionados

Calcule a e b de modo que B=(ll1 & b b & 1) seja a inversa da matriz A=(lla & 0 0 & a).
Dadas as matrizes A=(ccc2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4), B=(lll1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2) e C=(cc3 & 5 7 & 10), calcule:
(a) A^-1, B^-1, C^-1.
Para as matrizes A=(ll2 & -1 4 & -2) e B=(ll0 & 2 2 & 0), mostre que
© B^2 neq 02 times 2.
Dada a matriz A=(lll2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0),
(b) calcule A A^t.