Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir se ela tem uma matriz inversa. Se sim, qual é essa inversa. Estamos trabalhando com matrizes 3x3, e o conteúdo aqui é sobre matriz inversa na matéria de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como verificar se uma matriz tem essa inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Basicamente, uma matriz A times A^-1 = I tem uma inversa I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 se, quando multiplicamos por , a gente consegue a matriz identidade . Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Passo 3
Para saber se a matriz tem uma inversa, a gente precisa verificar se o determinante de é diferente de zero. O determinante é um número associado à matriz que nos dá várias informações importantes, incluindo se a matriz é invertível.
Se o determinante de for diferente de zero (), então a matriz tem uma inversa. Caso contrário, não tem.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 :
det(A) = 1 times 1 times 1 = 1
Como é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
Como , isso significa que a matriz tem uma inversa.
Passo 5
Agora que sabemos que A^-1 = a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f tem uma inversa, vamos encontrá-la. Como A^-1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 1 & -2 & 1 é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, a inversa também será uma matriz triangular inferior.
A inversa de uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal pode ser encontrada resolvendo . Vamos montar a matriz inversa como:
Multiplicando por e igualando a , podemos resolver para encontrar os valores de e .
Após resolver essas equações, chegamos aos seguintes valores:
Resposta
A matriz inversa de A^-1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 1 & -2 & 1 é