Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(d) A=(lll1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir se ela tem uma matriz inversa. Se sim, qual é essa inversa. Estamos trabalhando com matrizes 3x3, e o conteúdo aqui é sobre matriz inversa na matéria de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa e como verificar se uma matriz tem essa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Basicamente, uma matriz A times A^-1 = I tem uma inversa I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 se, quando multiplicamos por , a gente consegue a matriz identidade . Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:

Passo 3

Para saber se a matriz tem uma inversa, a gente precisa verificar se o determinante de é diferente de zero. O determinante é um número associado à matriz que nos dá várias informações importantes, incluindo se a matriz é invertível.
Se o determinante de for diferente de zero ( ), então a matriz tem uma inversa. Caso contrário, não tem.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 :
det(A) = 1 times 1 times 1 = 1
Como é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
Como , isso significa que a matriz tem uma inversa.

Passo 5

Agora que sabemos que A^-1 = a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f tem uma inversa, vamos encontrá-la. Como A^-1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 1 & -2 & 1 é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, a inversa também será uma matriz triangular inferior.
A inversa de uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal pode ser encontrada resolvendo . Vamos montar a matriz inversa como:
Multiplicando por e igualando a , podemos resolver para encontrar os valores de e .
Após resolver essas equações, chegamos aos seguintes valores:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 1 & -2 & 1 é

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Sendo A=(ll2 & 2 1 & 2), calcule A^2+4 A-5 I2.
Dadas as matrizes A=(ll3 & 1 5 & 2) e B=(ll2 & 0 0 & 2), determine:
(a) A^-1.
Dadas as matrizes A=(ccc2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4), B=(lll1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2) e C=(cc3 & 5 7 & 10), calcule:
(a) A^-1, B^-1, C^-1.