Seja W=[(rr1 & 3 -1 & 2),(rc0 & 11 -5 & 3),(cc2 & -5 3 & 1),(ll4 & 1 1 & 5),(cc3 & -2 2 & 3)].
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é formado por 5 matrizes . Nosso objetivo é encontrar uma base para e descobrir qual é a sua dimensão.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente espaços vetoriais, subespaços, bases e dimensões.
Para resolver isso, vamos precisar verificar se essas 5 matrizes são linearmente independentes. Se não forem, vamos encontrar uma combinação delas que seja mínima e que ainda gere todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as matrizes de a & b c & d (a, b, c, d) de uma forma que facilite a análise. Cada matriz M1 &= 1 & 3 -1 & 2 (1, 3, -1, 2) M2 &= 0 & 11 -5 & 3 (0, 11, -5, 3) M3 &= 2 & -5 3 & 1 (2, -5, 3, 1) M4 &= 4 & 1 1 & 5 (4, 1, 1, 5) M5 &= 3 & -2 2 & 3 (3, -2, 2, 3) pode ser representada como um vetor em (já que entradas). Assim, cada matriz será transformada no seguinte formato:
Aplicando isso às matrizes de , temos:

Passo 3

Agora, organizamos esses vetores em uma matriz aumentada, onde cada coluna representa um vetor:
A = 1 & 0 & 2 & 4 & 3 3 & 11 & -5 & 1 & -2 -1 & -5 & 3 & 1 & 2 2 & 3 & 1 & 5 & 3
Nosso objetivo é descobrir quantas dessas colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma escalonada e contar o número de elementos pivôs (ou seja, os primeiros números diferentes de zero em cada linha).

Passo 4

Vamos começar a eliminação:
  1. Primeiro pivô: A primeira entrada da primeira coluna é 1, que já está bom. Vamos zerar os elementos abaixo dela.
  2. Zerando abaixo do primeiro pivô:
    • Linha 2: 1 & 0 & 2 & 4 & 3 0 & 11 & -11 & -11 & -11 0 & -5 & 5 & 5 & 5 0 & 3 & -3 & -3 & -3
    • Linha 3:
    • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda coluna. A entrada (2,2) é 11. Vamos usá-la para zerar os elementos abaixo:
  1. Zerando abaixo do segundo pivô:
    • Linha 3: 1 & 0 & 2 & 4 & 3 0 & 11 & -11 & -11 & -11 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
    • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Observamos que após a eliminação, temos dois pivôs (nas posições (1,1) e (2,2)). Isso significa que há dois vetores linearmente independentes entre os 5 originais. Portanto, a dimensão de Base de W = 1 & 3 -1 & 2, 0 & 11 -5 & 3 é 2.
Para encontrar uma base, podemos escolher os dois vetores correspondentes aos pivôs:

Resposta

Uma base de 1 & 3 -1 & 2 e 0 & 11 -5 & 3 é formada pelas matrizes
e a dimensão de é igual a .

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