Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é formado por 5 matrizes . Nosso objetivo é encontrar uma base para e descobrir qual é a sua dimensão.
Para resolver isso, vamos precisar verificar se essas 5 matrizes são linearmente independentes. Se não forem, vamos encontrar uma combinação delas que seja mínima e que ainda gere todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as matrizes de de uma forma que facilite a análise. Cada matriz pode ser representada como um vetor em (já que entradas). Assim, cada matriz será transformada no seguinte formato:
Aplicando isso às matrizes de , temos:
Passo 3
Agora, organizamos esses vetores em uma matriz aumentada, onde cada coluna representa um vetor:
Nosso objetivo é descobrir quantas dessas colunas são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma escalonada e contar o número de elementos pivôs (ou seja, os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
Passo 4
Vamos começar a eliminação:
Primeiro pivô: A primeira entrada da primeira coluna é 1, que já está bom. Vamos zerar os elementos abaixo dela.
Observamos que após a eliminação, temos dois pivôs (nas posições (1,1) e (2,2)). Isso significa que há dois vetores linearmente independentes entre os 5 originais. Portanto, a dimensão de Base de W = 1 & 3 -1 & 2, 0 & 11 -5 & 3 é 2.
Para encontrar uma base, podemos escolher os dois vetores correspondentes aos pivôs:
Resposta
Uma base de 1 & 3 -1 & 2 e 0 & 11 -5 & 3 é formada pelas matrizes