Sejam W1=[1+t, 1-t^3] e W2=[1+t+t^2, t-t^3, 1+t+t^3] subespaços de P3(R). Determine uma base e a dimensão de W1+W2 e W1 cap W2. Verifique se P3(R)=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois subespaços e do espaço polinomial . A gente precisa encontrar uma base e a dimensão da soma e da interseção . Além disso, vamos verificar se todo o espaço pode ser escrito como a soma direta desses subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear, base, dimensão, soma e interseção de subespaços. Vamos precisar montar matrizes e verificar a independência linear para encontrar as bases e as dimensões desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é W1 + W2 = w1 + w2 mid w1 in W1, w2 in W2 . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores de e . Ou seja,
Para encontrar uma base para , vamos juntar os geradores de e e verificar se são linearmente independentes.

Passo 3

Os geradores de 1 + t, , 1 - t^3, , 1 + t + t^2, , t - t^3, , 1 + t + t^3 são e , e os de são , e .
Vamos formar a lista completa:
Precisamos ver quantos desses polinômios são linearmente independentes. Para isso, vamos montar uma matriz com os coeficientes desses polinômios e calcular seu posto.

Passo 4

Vamos representar cada polinômio em termos dos coeficientes de 1 + t &= 1, t^0 + 1, t^1 + 0, t^2 + 0, t^3 1 - t^3 &= 1, t^0 + 0, t^1 + 0, t^2 -1, t^3 1 + t + t^2 &= 1, t^0 + 1, t^1 +1, t^2 +0, t^3 t - t^3 &= 0, t^0 +1, t^1 +0, t^2 -1, t^3 1 + t + t^3 &=1, t^0 +1, t^1 +0, t^2 +1, t^3 e 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -1 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 & 1 :
Agora, formamos a matriz com esses coeficientes:

Passo 5

Vamos realizar operações lineares na matriz para encontrar seu posto:
1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -1 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 & 1
Subtraindo a primeira linha das linhas 2, 3 e 5:
1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 1
Agora, somamos a segunda linha com a quarta linha:
1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 0 & 1
E por fim, simplificamos a quarta e quinta linhas:
1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
O posto da matriz é 4, portanto, o número de vetores linearmente independentes é 4.

Passo 6

Como temos 4 vetores linearmente independentes, a dimensão de 1 + t, , 1 - t^3, , 1 + t + t^2, , t - t^3 é 4. Uma base para pode ser os primeiros 4 vetores da lista original que são independentes:

Passo 7

Agora, vamos encontrar p(t) = a(1 + t) + b(1 - t^3) , que é o conjunto de polinômios que pertencem tanto a p(t) = c(1 + t + t^2) + d(t - t^3) + e(1 + t + t^3) quanto a .
Para isso, consideramos que um polinômio está em se ele pode ser escrito como combinação linear de e :
E está em se pode ser escrito como combinação linear de , e :
Igualando as duas expressões e comparando coeficientes, podemos resolver para encontrar .

Passo 8

Igualando as duas expressões de a(1 + t) + b(1 - t^3) = c(1 + t + t^2) + d(t - t^3) + e(1 + t + t^3) :
(a + b) + (a)t + 0t^2 + (-b)t^3 = (c + e) + (c + d + e)t + (c)t^2 + (-d + e)t^3
Expandindo:
a + b = c + e a = c + d + e 0 = c -b = -d + e
Agora, igualando os coeficientes:

Passo 9

Da terceira equação, temos a + b = e a = d + e -b = -d + e .
Substituindo a + (d - e) = e Rightarrow a + d - e = e Rightarrow a + d = 2e nas demais:
(d + e) + d = 2e Rightarrow 2d + e = 2e Rightarrow 2d = e
Da segunda equação, .
Da quarta equação, .
Substituindo na primeira equação:
Também temos .
Substituindo na equação :
Então, .
Agora, .
E .

Passo 10

Portanto, os polinômios na interseção p(t) = a(1 + t) + b(1 - t^3) = 3d(1 + t) - d(1 - t^3) = 3d + 3dt - d + dt^3 = 2d + 3dt + dt^3 são:
p(t) = d(2 + 3t + t^3)
Fatorando :
Isso mostra que a interseção é gerada por um único polinômio .

Passo 11

Assim, uma base para 2 + 3t + t^3 é:
E a dimensão de é 1.

Passo 12

Agora, vamos verificar se . Para que isso seja verdade, duas condições devem ser satisfeitas:
Sabemos que tem dimensão 4. Calculamos que tem dimensão 4, o que satisfaz a primeira condição.
No entanto, tem dimensão 1, ou seja, não é apenas o zero. Portanto, a segunda condição não é satisfeita.

Resposta

Uma base para é com dimensão 4. A interseção possui a base e dimensão 1. Além disso, não é a soma direta de e , ou seja, .

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