Dadas as matrizes , determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, de ordem e de ordem . O objetivo é calcular o produto dessas matrizes, , e depois encontrar a transposta desse produto, . Para isso, precisamos conhecer a regra de multiplicação de matrizes e o conceito de matriz transposta.

Passo 2

Vamos começar multiplicando as matrizes e . Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, tem 3 colunas e tem 3 linhas, então a multiplicação é possível. O resultado será uma matriz de ordem .

Passo 3

A multiplicação é feita calculando o produto escalar de cada linha de com cada coluna de . Vamos calcular elemento por elemento:
Vamos calcular a primeira linha de :
Assim, a primeira linha de é .

Passo 4

Repetimos o mesmo processo para as demais linhas de :
Para a segunda linha de :
Linha:
Para a terceira linha de :
Linha:
Para a quarta linha de :
Linha:

Passo 5

Agora, juntando todas as linhas calculadas, temos a matriz :

Passo 6

O próximo passo é encontrar a matriz transposta de , ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Assim, a primeira linha de será a primeira coluna de , a segunda linha será a segunda coluna, e assim por diante.

Resposta

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e .
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(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
.
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