Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, de ordem e de ordem . O objetivo é calcular o produto dessas matrizes, , e depois encontrar a transposta desse produto, . Para isso, precisamos conhecer a regra de multiplicação de matrizes e o conceito de matriz transposta.
Passo 2
Vamos começar multiplicando as matrizes e . Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, tem 3 colunas e tem 3 linhas, então a multiplicação é possível. O resultado será uma matriz de ordem .
Passo 3
A multiplicação AB = 5 & 0 & 6 -8 & 0 & 3 -2 & 2 & 7 1 & -1 & -5 1 & -3 & -2 & 4 7 & 8 & 5 & 9 0 & 6 & 3 & -8 é feita calculando o produto escalar de cada linha de (5)(1) + (0)(7) + (6)(0) = 5 + 0 + 0 = 5 com cada coluna de (5)(-3) + (0)(8) + (6)(6) = -15 + 0 + 36 = 21 . Vamos calcular elemento por elemento:
(5)(-2) + (0)(5) + (6)(3) = -10 + 0 + 18 = 8
Vamos calcular a primeira linha de (5)(4) + (0)(9) + (6)(-8) = 20 + 0 - 48 = -28 :
Assim, a primeira linha de é .
Passo 4
Repetimos o mesmo processo para as demais linhas de (-8)(1) + (0)(7) + (3)(0) = -8 + 0 + 0 = -8 :
Para a segunda linha de (-8)(-3) + (0)(8) + (3)(6) = 24 + 0 + 18 = 42 :
Para a terceira linha de (-2)(4) + (2)(9) + (7)(-8) = -8 + 18 - 56 = -46 :
(1)(1) + (-1)(7) + (-5)(0) = 1 - 7 + 0 = -6
(1)(-3) + (-1)(8) + (-5)(6) = -3 - 8 - 30 = -41
(1)(-2) + (-1)(5) + (-5)(3) = -2 - 5 - 15 = -22
(1)(4) + (-1)(9) + (-5)(-8) = 4 - 9 + 40 = 35
Linha:
Para a quarta linha de :
Linha:
Passo 5
Agora, juntando todas as linhas calculadas, temos a matriz AB = 5 & 21 & 8 & -28 -8 & 42 & 25 & -56 12 & 64 & 35 & -46 -6 & -41 & -22 & 35 :
Passo 6
O próximo passo é encontrar a matriz transposta de (AB)^T = 5 & -8 & 12 & -6 21 & 42 & 64 & -41 8 & 25 & 35 & -22 -28 & -56 & -46 & 35 , ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Assim, a primeira linha de será a primeira coluna de , a segunda linha será a segunda coluna, e assim por diante.