Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes.
e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  1. A reta está definida pelas equações paramétricas:
  2. A reta está definida pelas equações:
O conteúdo principal aqui é geometria analítica, especificamente o estudo das retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a posição relativa entre duas retas e verificar se elas se interseccionam, são paralelas ou estão em posições diferentes (chamadas de retas “esbeltas”).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a reta em forma paramétrica para facilitar a comparação com a reta . A equação dada é:
Vamos chamar esse valor comum de parâmetro . Assim, temos:
Portanto, as equa��ões paramétricas da reta são:

Passo 3

Agora, vamos comparar as duas retas e para ver se elas se cruzam ou são paralelas. Para isso, precisamos verificar se existe um ponto que pertence a ambas as retas, ou seja, se existem valores de e que satisfaçam as equações simultaneamente.
Vamos igualar as componentes correspondentes:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação de :
Agora, substituímos na equação de :
Com , encontramos

Passo 5

Agora, vamos verificar a equação de com os valores encontrados:
Substituindo e :
Isso não é verdade, o que indica que houve um erro na suposição inicial de que existe um ponto comum.

Passo 6

Como as equações não se satisfazem simultaneamente, concluímos que as retas e não se intersectam. Agora, precisamos verificar se elas são paralelas ou esbeltas.
Para isso, vamos comparar os vetores diretores das duas retas.
A reta possui vetor diretor
A reta possui vetor diretor
Vamos verificar se existe um escalar tal que :
Como não é o mesmo nos dois casos, os vetores diretores não são múltiplos um do outro, ou seja, as retas não são paralelas.

Resposta

As retas e são esbeltas, ou seja, não se intersectam e não são paralelas.

Exercícios relacionados

Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta : .
Sejam subespaços vetoriais de . Determine uma base e a dimensão dos subespaços e .
e .
Dada a matriz e , efetue a multiplicação das matrizes e .
Dadas as matrizes , determine .