Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes. e r^prime: 2 x-13=y+1=3 z.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
A reta x = 1 + 2t y = -3 - t z = t está definida pelas equações paramétricas:
2x - 13 = y + 1 = 3z
A reta está definida pelas equações:
O conteúdo principal aqui é geometria analítica, especificamente o estudo das retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a posição relativa entre duas retas e verificar se elas se interseccionam, são paralelas ou estão em posições diferentes (chamadas de retas “esbeltas”).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a reta 2x - 13 = y + 1 = 3z em forma paramétrica para facilitar a comparação com a reta 2x - 13 = s Rightarrow 2x - 1 = 3s Rightarrow x = 3s + 12 . A equação dada é:
y + 1 = s Rightarrow y = s - 1
Vamos chamar esse valor comum de parâmetro 3z = s Rightarrow z = s3 . Assim, temos:
x = 3s + 12 y = s - 1 z = s3
Portanto, as equa��ões paramétricas da reta são:
Passo 3
Agora, vamos comparar as duas retas 1 + 2t = 3s + 12 e -3 - t = s - 1 para ver se elas se cruzam ou são paralelas. Para isso, precisamos verificar se existe um ponto que pertence a ambas as retas, ou seja, se existem valores de t = s3 e que satisfaçam as equações simultaneamente.
Vamos igualar as componentes correspondentes:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeiro, da equação de t = s3 Rightarrow s = 3t :
-3 - t = 3t - 1 Rightarrow -3 + 1 = 3t + t Rightarrow -2 = 4t Rightarrow t = -12
Agora, substituímos na equação de :
Com , encontramos
Passo 5
Agora, vamos verificar a equação de 1 + 2t = 3s + 12 com os valores encontrados:
Isso não é verdade, o que indica que houve um erro na suposição inicial de que existe um ponto comum.
Passo 6
Como as equações não se satisfazem simultaneamente, concluímos que as retas 2 -1 1 e 32 1 13 não se intersectam. Agora, precisamos verificar se elas são paralelas ou esbeltas.
Para isso, vamos comparar os vetores diretores das duas retas.
A reta 32 = 2k Rightarrow k = 34 possui vetor diretor 1 = -k Rightarrow k = -1
A reta possui vetor diretor
Vamos verificar se existe um escalar tal que :
Como não é o mesmo nos dois casos, os vetores diretores não são múltiplos um do outro, ou seja, as retas não são paralelas.
Resposta
As retas e são esbeltas, ou seja, não se intersectam e não são paralelas.