Mostre que se |lla & b c & d|=0, então |llla & b & 0 0 & d & 1 c & 0 & 2|=3 b c.

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de determinantes, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. A gente precisa provar que, se o determinante de uma matriz 2 times 2 é zero, então o determinante de uma outra matriz 3 times 3 específica é igual a 3bc. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e usar algumas propriedades deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2 times 2. Se temos uma matriz:
a & b c & d ,
o determinante é dado por ad - bc. No enunciado, foi dado que esse determinante é zero, ou seja:
ad - bc = 0
Isso nos mostra que ad = bc.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz 3 times 3 que a gente tem. A matriz é:
a & b & 0 0 & d & 1 c & 0 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 3 times 3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores para ficar mais claro.

Passo 4

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. A fórmula geral para a expans��o por cofatores na primeira linha é:
det = a cdot d & 1 0 & 2 - b cdot 0 & 1 c & 2 + 0 cdot 0 & d c & 0
Note que o último termo é zero porque ele é multiplicado por zero, então podemos ignorá-lo.

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes dos menores:
  1. Para o primeiro menor:
d & 1 0 & 2 = d cdot 2 - 0 cdot 1 = 2d
  1. Para o segundo menor:
0 & 1 c & 2 = 0 cdot 2 - c cdot 1 = -c

Passo 6

Substituindo esses valores na expansão original, temos:
det = a cdot 2d - b cdot (-c) = 2ad + bc

Passo 7

Lembra que no Passo 2 descobrimos que ad = bc? Vamos substituir isso na expressão:
2ad + bc = 2bc + bc = 3bc

Resposta

Portanto, o determinante da matriz 3 times 3 é igual a 3bc.

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