Dadas as matrizes A=[ccx & -22 -2 & y] e B=[cc5 & 22 2 & 9], determine x e y para que B seja a inversa de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, a matriz com elementos e que a gente quer encontrar, e a matriz que, segundo o enunciado, é a inversa da . Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de e fazem com que seja realmente a inversa de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de matrizes inversas e saber como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversa de outra. Se A times B = I é a inversa de , então a multiplicação de por deve resultar na matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos fazer a multiplicação das matrizes A = x & -22 -2 & y e B = 5 & 22 2 & 9 . A matriz A times B = x times 5 + (-22) times 2 & x times 22 + (-22) times 9 (-2) times 5 + y times 2 & (-2) times 22 + y times 9 é:
x times 5 + (-22) times 2 = 5x - 44
E a matriz x times 22 + (-22) times 9 = 22x - 198 é:
-2 times 5 + y times 2 = -10 + 2y
A multiplicação -2 times 22 + y times 9 = -44 + 9y fica assim:
Vamos calcular cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 1):
  • Quarto elemento (linha 2, coluna 2):

Passo 4

Agora, igualamos a matriz resultante à matriz identidade:
5x - 44 & 22x - 198 -10 + 2y & -44 + 9y = 1 & 0 0 & 1
Isso nos dá um sistema de equações:
5x - 44 = 1 22x - 198 = 0 -10 + 2y = 0 -44 + 9y = 1
Vamos resolver cada uma:
  1. 5x = 45 Rightarrow x = 9
22x = 198 Rightarrow x = 9
  1. 2y = 10 Rightarrow y = 5
9y = 45 Rightarrow y = 5
Confirma que .
Confirma que .

Resposta

Os valores são e .

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